2 Оптимизация плана работы автотранспорта при осуществлении централизованного завоза-вывоза контейнеров
Для оптимизации плана работы автотранспорта используется транспортная задача. Общая постановка транспортной задачи состоит в определение оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов отправления (А1, А2, Аm) в n пунктов назначения (В1, В2, Вn). В качестве критериев эффективности используются критерии пробега, времени и стоимости.
Транспортная задача записывается в виде матрицы, в которой потребитель записывается по столбцам, а поставщик - по строкам. На пересечении строк и столбцов записывается размер поставки и затраты на перевозку.
Рассмотрим
математическую модель прикрепления
пунктов назначения к пунктам отправления.
Имеется n
потребителей и m
поставщиков, мощность i-го
поставщика (i=1,
m)→
.,
спрос j-го
потребителя j
(j=1,
n)→
.
Общая сумма затрат F.
Затраты на перевозку одной тонны груза
обозначаются как Cij,
а размер поставки -
.
Математическая модель имеет вид:
,
(2.1)
Задача имеет следующие ограничения:
1) Объем поставок i-го поставщика должен равняться количеству имеющегося у него груза:
2) Объем поставок j -го потребителя должен равняться его спросу:
3) Объем поставки должен выражаться неотрицательным числом:
,
(2.4)
Условие
разрешимости транспортной задачи запас
грузов поставщиков должен равняться
суммарному спросу потребителя:
В том случае, когда модель является незакрытой, ее необходимо привести к закрытой форме. Если нет равенства в задаче, вводится фиктивный отправитель или получатель.
Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.
Условие баланса не соблюдается. Задача открытая. Приводим к закрытой с помощью ввода фиктивного КТ 14 – 13 = 1.
Условие баланса соблюдается.
Занесем исходные данные в распределительную таблицу 2.1.
Таблица 2.1 – Распределительная таблица
|
Получатель |
П1 |
П2 |
П3 |
П4 |
П5 |
П6 |
П7 |
П8 |
КТ |
Объем выгрузки |
|
О1 |
0 |
5 |
14 |
5 |
10 |
3 |
5 |
6 |
13 |
1 |
|
О2 |
5 |
0 |
7 |
4 |
11 |
8 |
6 |
1 |
8 |
5 |
|
О3 |
14 |
7 |
0 |
9 |
8 |
15 |
9 |
6 |
1 |
2 |
|
О4 |
5 |
4 |
9 |
0 |
15 |
6 |
10 |
5 |
10 |
0 |
|
О5 |
10 |
11 |
8 |
15 |
0 |
9 |
5 |
10 |
7 |
0 |
|
О6 |
3 |
8 |
15 |
6 |
9 |
0 |
6 |
9 |
16 |
1 |
|
О7 |
5 |
6 |
9 |
10 |
5 |
6 |
0 |
5 |
10 |
2 |
|
О8 |
6 |
1 |
6 |
5 |
10 |
9 |
5 |
0 |
7 |
3 |
|
Объем погрузки |
1 |
2 |
0 |
2 |
2 |
2 |
3 |
1 |
1 |
14 14 |
План, при котором функция принимает свое минимальное значение, называется оптимальным планом.
Составим начальный опорный план, приведенный в таблице 2.2.
Таблица 2.2 – Опорный план транспортной задачи
|
Получатель |
П1 |
П2 |
П3 |
П4 |
П5 |
П6 |
П7 |
П8 |
КТ |
Объем выгрузки |
|
О1 |
0(1) |
5 |
14 |
5 |
10 |
3 |
5 |
6 |
13 |
1 |
|
О2 |
5 |
0(2) |
7 |
4(2) |
11 |
8(1) |
6 |
1 |
8 |
5 |
|
О3 |
14 |
7 |
0(0) |
9 |
8(1) |
15 |
9 |
6 |
1(1) |
2 |
|
О4 |
5 |
4 |
9 |
0(0) |
15 |
6 |
10 |
5 |
10 |
0 |
|
О5 |
10 |
11 |
8 |
15 |
0(0) |
9 |
5 |
10 |
7 |
0 |
|
О6 |
3(0) |
8 |
15 |
6 |
9 |
0(1) |
6 |
9 |
16 |
1 |
|
О7 |
5 |
6 |
9 |
10 |
5 |
6 |
0(2) |
5 |
10 |
2 |
|
О8 |
6 |
1 |
6 |
5 |
10(1) |
9 |
5(1) |
0(1) |
7 |
3 |
|
Объем погрузки |
1 |
2 |
0 |
2 |
2 |
2 |
3 |
1 |
1 |
14 14 |
Целевая функция:
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0. u1 + v1 = 0; 0 + v1 = 0; v1 = 0 u6 + v1 = 3; 0 + u6 = 3; u6 = 3 u6 + v6 = 0; 3 + v6 = 0; v6 = -3 u2 + v6 = 8; -3 + u2 = 8; u2 = 11 u2 + v2 = 0; 11 + v2 = 0; v2 = -11 u2 + v4 = 4; 11 + v4 = 4; v4 = -7 u4 + v4 = 0; -7 + u4 = 0; u4 = 7 u3 + v3 = 0; 0 + u3 = 0; u3 = 0 u3 + v3 = 0; 0 + v3 = 0; v3 = 0 u3 + v5 = 8; 0 + v5 = 8; v5 = 8 u5 + v5 = 0; 8 + u5 = 0; u5 = -8 u8 + v5 = 10; 8 + u8 = 10; u8 = 2 u8 + v7 = 5; 2 + v7 = 5; v7 = 3 u7 + v7 = 0; 3 + u7 = 0; u7 = -3 u8 + v8 = 0; 2 + v8 = 0; v8 = -2 u3 + v9 = 1; 0 + v9 = 1; v9 = 1
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij (2;1): 11 + 0 > 5; ∆21 = 11 + 0 - 5 = 6 (2;3): 11 + 0 > 7; ∆23 = 11 + 0 - 7 = 4 (2;5): 11 + 8 > 11; ∆25 = 11 + 8 - 11 = 8 (2;7): 11 + 3 > 6; ∆27 = 11 + 3 - 6 = 8 (2;8): 11 -2 > 1; ∆28 = 11 -2 - 1 = 8 (2;9): 11 + 1 > 8; ∆29 = 11 + 1 - 8 = 4 (4;1): 7 + 0 > 5; ∆41 = 7 + 0 - 5 = 2 (6;5): 3 + 8 > 9; ∆65 = 3 + 8 - 9 = 2 max(6,4,8,8,8,4,2,2) = 8 Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;5): 11
Таблица 2.3 – Новый опорный план транспортной задачи
|
Получатель |
П1 |
П2 |
П3 |
П4 |
П5 |
П6 |
П7 |
П8 |
КТ |
Объем выгрузки |
|
О1 |
0 |
5 |
14 |
5 |
10 |
3(1) |
5 |
6 |
13 |
1 |
|
О2 |
5(1) |
0(2) |
7 |
4(2) |
11(0) |
8(0) |
6 |
1 |
8 |
5 |
|
О3 |
14 |
7 |
0(0) |
9 |
8(1) |
15 |
9 |
6 |
1(1) |
2 |
|
О4 |
5 |
4 |
9 |
0(0) |
15 |
6 |
10 |
5 |
10 |
0 |
|
О5 |
10 |
11 |
8 |
15 |
0 |
9 |
5 |
10 |
7 |
0 |
|
О6 |
3 |
8 |
15 |
6 |
9 |
0(1) |
6 |
9 |
16 |
1 |
|
О7 |
5 |
6 |
9 |
10 |
5 |
6 |
0(2) |
5 |
10 |
2 |
|
О8 |
6 |
1 |
6 |
5 |
10(1) |
9 |
5(1) |
0(1) |
7 |
3 |
|
Объем погрузки |
1 |
2 |
0 |
2 |
2 |
2 |
3 |
1 |
1 |
14 14 |
С помощью программы, решим задачу методом потенциалов.
Таблица 2.4 – Оптимальный план транспортной задачи
|
Получатель |
П1 |
П2 |
П3 |
П4 |
П5 |
П6 |
П7 |
П8 |
КТ |
Объем выгрузки |
|
О1 |
0(1) |
5 |
14 |
5 |
10 |
3 |
5 |
6 |
13 |
1 |
|
О2 |
5 |
0 |
7 |
4(2) |
11(2) |
8 |
6 |
1 |
8 |
5 |
|
О3 |
14 |
7 |
0 |
9 |
8(1) |
15(1) |
9 |
6 |
1 |
2 |
|
О4 |
5 |
4 |
9 |
0 |
15 |
6 |
10 |
5 |
10 |
0 |
|
О5 |
10 |
11 |
8 |
15 |
0 |
9 |
5 |
10 |
7 |
0 |
|
О6 |
3 |
8 |
15 |
6 |
9 |
0(1) |
6 |
9 |
16 |
1 |
|
О7 |
5 |
6 |
9 |
10 |
5 |
6 |
0(2) |
5 |
10 |
2 |
|
О8 |
6 |
1 |
6 |
5 |
10 |
9 |
5(2) |
0(1) |
7 |
3 |
|
Объем погрузки |
1 |
2 |
0 |
2 |
2 |
2 |
3 |
1 |
1 |
14 14 |
Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj ≤ cij. Минимальные затраты составят: F(x) = 3*1 + 5*1 + 0*2 + 4*2 + 8*1 + 1*1 + 0*1 + 0*2 + 10*1 + 5*1 + 0*1 = 40
Расчеты экономической эффективности опорного и оптимального планов представлены в таблицах 2.5 и 2.6.
l1 – расстояние от контейнерного терминала (КТ) до грузополучателя (О); l2 – расстояние от грузополучателя (О) до грузоотправителя (П); l3 – расстояние от грузоотправителя (П) до контейнерного пункта (КТ).
Таблица 2.5 – Расчет экономической эффективности опорного плана
|
Маршрут |
Количество контейнеров |
Расстояние |
Конт-км |
|||
|
l1 |
l2 |
l3 |
||||
|
КТ→О1(груж) П1→КТ (груж) |
1 |
13 |
|
|
13 |
|
|
1 |
|
|
13 |
13 |
||
|
КТ→О2(груж) П2→КТ (груж) О2→П4 (порож) П4→КТ (груж) О2→П6 (порож) П6→КТ (груж) |
5 |
8 |
|
|
40 |
|
|
2 |
|
|
8 |
16 |
||
|
2 |
|
4 |
|
8 |
||
|
2 |
|
|
8 |
16 |
||
|
1 |
|
8 |
|
8 |
||
|
1 |
|
|
8 |
8 |
||
|
КТ→О3 (груж) О3→П5 (порож) П5→КТ (груж) О3→КТ(порож) |
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
8 |
|
8 |
||
|
1 |
|
|
1 |
1 |
||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
||
|
КТ→О6(груж) П6→КТ (груж) |
1 |
16 |
|
|
16 |
|
|
1 |
|
|
16 |
16 |
||
|
КТ→О7 (груж) П7→КТ (груж) |
2 |
10 |
|
|
20 |
|
|
2 |
|
|
10 |
20 |
||
|
КТ→О8(груж) П8→КТ (груж) О8→ П5(порож) П5→КТ (груж) |
3 |
7 |
|
|
21 |
|
|
1 |
|
|
7 |
7 |
||
|
1 |
|
10 |
|
10 |
||
|
1 |
|
|
7 |
7 |
||
|
О8→ П7(порож) |
1 |
|
5 |
|
5 |
|
|
П7→КТ (груж) |
1 |
|
|
7 |
7 |
|
|
ИТОГО |
266 |
|||||
Таблица 2.6 – Расчет экономической эффективности оптимального плана
|
Маршрут |
Количество контейнеров |
Расстояние |
Конт-км |
|||
|
l1 |
l2 |
l3 |
||||
|
КТ→О1(груж) П1→КТ (груж) |
1 |
13 |
|
|
13 |
|
|
1 |
|
|
13 |
13 |
||
|
КТ→О2(груж) П2→КТ(груж) О2→П4(порож) П4→КТ (груж) О2→П5 (порож) П5→КТ(груж) |
4 |
8 |
|
|
40 |
|
|
2 |
|
|
8 |
8 |
||
|
2 |
|
4 |
|
8 |
||
|
2 |
|
|
8 |
16 |
||
|
2 |
|
11 |
|
11 |
||
|
2 |
|
|
8 |
8 |
||
|
КТ→О3 (груж) О3→П5 (порож) П5→КТ(груж) О3→П6 (порож) П5→КТ(груж) |
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
8 |
|
8 |
||
|
1 |
|
|
1 |
1 |
||
|
1 |
|
15 |
|
15 |
||
|
1 |
|
|
1 |
1 |
||
|
КТ→О6(груж) П6→КТ (груж) |
1 |
16 |
|
|
16 |
|
|
1 |
|
|
16 |
16 |
||
|
КТ→О7 (груж) П7→КТ (груж) |
2 |
10 |
|
|
20 |
|
|
2 |
|
|
10 |
20 |
||
|
КТ→О8(груж) П8→КТ (груж) О8→П7 (порож) П7→КТ (груж) |
3 |
7 |
|
|
21 |
|
|
1 |
|
|
7 |
7 |
||
|
2 |
|
5 |
|
5 |
||
|
2 |
|
|
7 |
7 |
||
|
Всего |
248 |
|||||
Вывод: Расчет показал, что оптимальный план, решенный методом потенциалов, дешевле опорного плана на 18 конт-км.