2.3. Взаимосвязь двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления

Связь между восьмеричными и двоичными числами определяется следующим соотношением: 2³ = 8. Поэтому каждому восьмеричному числу соответствует группа из 3-х двоичных цифр, триада. Это соотношение и определяет правило перевода из восьмеричной в двоичную систему счисления и наоборот.

Правило 3. Для перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления двоичное число, начиная от десятичной запятой, влево и вправо разбивается на триады. Если крайние триады оказались неполными, то их дополняют приписыванием нулей. Каждая триада заменяется соответствующей ей восьмеричной цифрой.

Для перевода восьмеричного числа в двоичную систему каждая цифра восьмеричного числа заменяется соответствующей ей триадой. Ниже приведена таблица соответствия восьмеричных цифр двоичным (табл. 1).

Таблица 1

Двоичное представление восьмеричных цифр.

Восьмеричные цифры	Двоичные цифры
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

Связь между шестнадцатеричными и двоичными числами определяется соотношением: 2⁴ = 16, т.е. каждому шестнадцатеричному числу соответствует группа из 4-х двоичных цифр, тетрада.

Правило 4. При переводе двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления число разбивается на тетрады. И каждая тетрада заменяется соответствующей ей шестнадцатеричной цифрой. Таблица соответствия шестнадцатеричных цифр двоичным представлены в табл. 2.

Аналогично производится и обратный перевод.

Таблица 2

Двоичное представление шестнадцатеричных цифр

Шестнадцатеричные цифры	Двоичные цифры	Шестнадцатеричные цифры	Двоичные цифры
0 1 2 3 4 5 6 7	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111	8 9 A B C D E F	1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Пример. Двоичное число 1100101111 перевести в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем на триады, начиная справа, 1 100 101 111. Дополняя до полной триады, получаем, 001 100 101 111. Заменяя триады восьмеричными числами (табл.1), получаем ответ:

1 100 101 111₂ = 1457₈

Пример. Двоичное число 0,1101101101 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Разбиваем на тетрады, начиная слева, 0, 1101 1011 01. Дополняя до полной тетрады, получаем, 0,1101 1011 0100. Заменяя тетрады шестнадцатеричными цифрами (табл.2), получаем ответ:

0,1101 1011 01₂ = 0,DB4₁₆

Пример. Представить шестнадцатеричное число C5,FD в восьмеричной системе счисления.

Схема перевода следующая:

• перевести исходное число в двоичную систему счисления (табл.2);

• разбить двоичное число на триады;

• перевести согласно таблице 1 в восьмеричную систему счисления.

Заменяем шестнадцатеричные числа соответствующими тетрадами:

C5,FD₁₆ = 1100 0101, 1111 1101

Разбиваем полученное двоичное число на триады, влево и вправо от запятой:

1100 0101, 1111 1101 = 11 000 101, 111 111 01

Дополняем старшую и младшую триаду нулями и заменяем триады соответствующими восьмеричными цифрами. Получаем ответ:

C5,FD₁₆ = 305,772₈