2. Позиционные системы счисления
Система счисления – способ представления чисел посредством цифровых знаков. Существуют два типа систем счисления: позиционные (например: десятичная) и непозиционные (например: римская). В современной практике используются только позиционные системы счисления, поэтому далее рассматриваем только их.
Всякая позиционная система счисления характеризуется основанием – количеством различных цифр, используемых для записи чисел. Значение каждой цифры, входящей в состав числа, зависит от её места (позиции) в ряду цифр, изображающих это число.
Десятичная система счисления, которая используется в повседневной практике, использует для записи чисел десять цифр (от 0 до 9).
Для составляющих ЭВМ элементов характерно два устойчивых состояния, поэтому в двоичной системе счисления используются только две цифры (0 и 1).
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления вспомогательные и применяются для записи машинных команд, некоторых констант и удобства программирования. Они удобны тем, что требуют для записи чисел соответственно в три и четыре раза меньше цифр, а перевод таких чисел в двоичную систему очень прост.
В восьмеричной системе счисления используется восемь цифр: 0,1,2,…,7.
В шестнадцатеричной системе счисления для обозначения используется 16 различных цифр (0 – 15). А так как в десятичной системе имеется лишь 10 базовых цифр (0 – 9), то для обозначения остальных цифр берутся прописные латинские буквы: А=10, В=11, С=12, D=13, E=14, F=15.
В общем виде число А=anan-1…a0a-1a-2…a-m представляет сумму произведений степеней основания системы на коэффициенты, указанные в цифровых разрядах:
Aq= anqn + an-1qn-1 +…+ aiqi +…+ a1q1 + a0q0 + a-1q-1 + … +a-mq-m ,
Вычисления в десятичной системе счисления являются наиболее удобными (для людей, но не для компьютеров). Поэтому для перевода числа из какой-либо позиционной системы в десятичную систему его представляют, используя приведённую выше позиционную запись числа, как сумму степеней основания q, которую затем подсчитывают.
Пример. Двоичное число 1101011 перевести в десятичную систему счисления
1 1 0 1 0 1 1 2 = 1*26 + 1*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 10710
Перевести в десятичную систему счисления восьмеричную дробь, в десятичном числе представлены только 4 значащие цифры .
2.1. Перевод целых десятичных чисел
Правило 1. Чтобы перевести целое десятичное число А в другую позиционную систему счисления его нужно последовательно разделить на основание переводимой системы счисления q. Процесс деления продолжается до получения в частном нуля. Остатки от деления, записанные в обратном порядке, является цифрами, представляющими число А в системе с основанием q.
Пример. Перевести в восьмеричную систему счисления десятичное число 246.
|
А10 = 24610; q = 8 |
Ответ: 24610 = 3668
2.2. Перевод дробных десятичных чисел
Правило 2. Чтобы перевести правильную десятичную дробь в другую позиционную систему счисления, её нужно последовательно умножать на основание системы q. В умножении участвуют только дробные части. Процесс умножения продолжается до получения требуемого числа знаков (точного перевода, в общем случае, добиться не удается) или произведения равного нулю. Целые части получающихся произведений, начиная с первого, являются цифрами правильной дроби в системе с основанием q.
Величина погрешности Т при переводе равна (половине веса цифры в выбранной системе счисления)
,
где p – количество цифр дробной части,
q - основание системы.
Пример. Перевести в двоичную систему счисления десятичное число 0,625.
Ответ: 0,62510 = 0,1012 (перевод числа выполнен точно)