5. Напряженное состояние горных пород и устойчивость горных выработок

5.1. .Основные понятия*

Пусть твердое тело U (рис. 12.а) находится в равновесии под действием внешних сил Р, Р₁, Р₂, Р₃, Р₄.В сечении внешние силы уравновешиваются внутренними силами (напряжениями).

Рассмотрим небольшую площадку в сечении S (рис. 12.б) величиной S около точки А. Пусть на нее действует сила . Тогда среднее напряжение на площадке составит:

.

Рис. 12. Схема напряженного состояния твердого тела:

а – силы Р, Р₁, Р₂, Р₃, Р₄ находятся в равновесии;

б – напряжение на площадке

Истинное напряжение в точке А составит:

.

Напряжение в точке А можно разложить на две составляющие:

,

где

– нормальное напряжение;

– касательное напряжение.

В теории упругости доказывается, что для любой точки тела, при любом напряженном состоянии имеются три взаимно перпендикулярные плоскости, на которых касательные напряжения отсутствуют. Нормальные напряжения на этих площадках называются главными нормальными напряжениями и обозначаются σ₁, σ₂, σ₃, причем σ₁> σ₂> σ₃, Нормали к указанным площадкам называются главными осями напряжений и обозначаются соответственно 1, 2, 3. Касательные напряжения на площадках, делящих пополам угол между главными осями, называются главными касательными напряжениями и обозначаются (рис. 13)

τ₁₂ = τ₂₁; τ₂₃ = τ₃₂; τ₃₁ = τ₁₃.

Рис.13. Площадки главных касательных напряжений

Величины главных касательных напряжений составляют

.

На площадках главных касательных напряжений нормальные напряжения составляют

.

5.2. Напряжение в породном массиве

Рассмотрим напряженное состояние кубика породного массива, расположенного на глубине H = Z от поверхности (рис.14). Обозначим вертикальное напряжение σ_z и горизонтальные – σ_x и σ_y. Тогда относительные деформации кубика можно выразить в виде

где:

Е – модуль упругости массива в простом напряженном состоянии.

Рис. 14. Схема напряженного состояния породного массива

В 1952 г. Терцаги и Рихарт внесли предложение принять ε_х = ε_у = 0, откуда следует:

.

Эта зависимость, по-видимому, имеет место в крепких горных породах при относительно небольших напряжениях.

В 1912 г. Гейм предложил считать на том основании, что с течением времени напряженное состояние пород выравнивается. Предложение Гейма, по-видимому, можно принять для пластичных пород, особенно на глубинах более 1 км.

На рис.15 приведена зависимость вертикального напряжения в горном массиве σ_z от глубины Z на основе натурных наблюдений.

Эта зависимость выражается формулой:

,

где

γ – средневзвешенный объемный вес пород;

z – глубина от поверхности.

На рис. 16 приведена зависимость от глубины отношения средних горизонтальных напряжений к вертикальным. Это отношение укладывается в область, ограниченную кривыми :

.

Из графика рис.16 видно, что на малых глубинах (до 500 м) горизонтальные напряжения значительно выше вертикальных. На глубинах 1 км и более значения горизонтальных и вертикальных напряжений выравниваются. Все это говорит о важности натурных замеров напряженного состояния горных пород при решении горных задач.

Рис. 15. Зависимость вертикального напряжения от глубины:

● Австралия, ▼ Канада, ▲ США, ○ Скандинавские страны,

■ Южная Африка, □ другие районы

Рис. 16. Зависимость отношения