Примеры экономических задач, сводимых к задаче о кратчайшей цепи
Среди экономических задач, сводимых к рассмотренным выше, можно отметить задачу о плане замены оборудования, задачу составления расписания, задачу выбора некольцевого маршрута перевозок, планирование работ по осуществлению проекта в методе критического пути. Первые три сводятся к задаче о кратчайшей цепи. В задаче о замене оборудования при этом делается допущение о дискретности срока службы оборудования. Обычно замена может быть произведена в начале очередного года эксплуатации, но не позже истечения срока службы. Узлами являются решения о замене, дугами - периоды эксплуатации от момента приобретения до ликвидации конкретного набора оборудования с обобщенной стоимостью, равной общим затратам, состоящим из начальной стоимости оборудования эксплуатационные расходы за годы эксплуатации - ликвидационная стоимость затраты на ликвидацию. В задачах составления расписаний узлами являются моменты окончания предыдущих и начала последующих процессов (прибытия и убытия транспортных средств, начала и окончания работ), дугами - продолжительности процессов. Данная модель справедлива в случае наличия единственного исполнителя равноправных независимых процессов. В задачах выбора маршрута узлы - транзитные пункты (пункты перегрузки и переформирования в задачах о перевозках, насосные станции для трубопроводов и т. д.), дуги - части маршрута между узлами, характеризуемые расстоянием, временем, либо стоимостью доставки.
При планировании работ по осуществлению проекта в методе критического пути узлами являются события - решения о начале выполнения некоторой (или некоторых) работы; дугами - сами работы. В зависимости от характеристик работы могут быть трех видов: реальные с ненулевыми стоимостью выполнения и временем выполнения; пассивные с нулевыми стоимостью выполнения и ненулевым временем выполнения; фиктивные с нулевыми стоимостью выполнения и временем выполнения, вводимые для выполнения условий упорядоченности совершения событий. В такой постановке продолжительность всего проекта определяется в задаче о максимальной по продолжительности цепи.
III. Задача о минимальном остовном контуре
1. Постановка задачи
В приложении теории графов для циклических сетей большое значение имеет группа задач о кратчайшем (или максимальном) остовном (гамильтоновом) контуре, причем пропускные способности всех дуг сети в таком случае могут быть положены равными бесконечности.
Формулировка задачи имеет следующий вид:
задана сеть - G {N, A}; для всех дуг из A определена обобщенная стоимость cij прохождения единицы потока по дуге, которая в реальных задачах в зависимости от выбранного критерия оптимальности может быть либо расстоянием, либо величиной, имеющей денежное выражение и связанной со стоимостью. Для фиктивных дуг, задающих только последовательность узлов, cij 0, для пары узлов i и j, не соединенных дугой, cij . В сети нет истока и стока; интенсивность всех узлов сети d 0.
Требуется найти остовный контур G1 {[1, ..., i, ..., 1]; i N} с оптимальной (минимальной или максимальной) суммарной обобщенной стоимостью CG1 всех входящих в него дуг.
Эта задача может быть представлена, как задача дискретного программирования:
В силу вышесказанного решение задачи может быть произведено с использованием общих методов дискретного программирования, например метода ветвей и границ, но здесь будет рассмотрен метод, учитывающий специфику данной задачи.