2. Ориентированные и неориентированные сети

Дугу (i, j) называют направленной от узла i к узлу j, если дополнительный поток из i в j, протекающий по этой дуге, увеличивает величину уже существующего в ней потока, а противоположный дополнительный поток уменьшает эту величину. Направленные дуги иногда обозначают следующим образом: [i, j]. Направленная дуга называется ориентированной и в г рафическом представлении сети обозначается линией со стрелкой (см. рис. 2а). Дуга, не имеющая направления, называется неориентированной и в графическом представлении сети обозначается линией (см. рис. 2б).

Сети (графы) также могут быть ориентированными (содержащими ориентированные дуги - орграфами) и неориентированными (содержащими только неориентированные дуги).

Цепью [i, j, ..., k] из узла i в узел k называют подграф G₁ сети G, состоящий из последовательности дуг и узлов, в которой конечный узел каждой дуги (исключая узлы i и k) является начальным узлом следующей дуги. Цепь может включать неориентированные дуги.

Путем (i, j, ..., k) из узла i в узел k называют подграф G₂ сети G, состоящий из последовательности дуг и узлов, в которой каждый узел (исключая узлы i и k) является начальным или конечным узлом только двух дуг из G₂ и каждая дуга пути начинается и заканчивается в узлах из G₂.

Контур - конечная цепь с началом и концом в одном и том же узле.

Цикл - конечный путь с началом и концом в одном и том же узле.

Петля - цикл или контур из одной дуги и одного узла.

Не содержащие контуров сети (графы) называют бесконтурными, а не содержащие циклов - ациклическими.

Сеть (граф) связна, если для любых двух ее узлов существует соединяющий их путь.

Сеть сильно связна (граф полный), если для любых двух ее узлов существует соединяющая их цепь.

Граф G=G(V, E) называется двудольным, если V можно представить как объединение непересекающихся множеств, скажем V=AB, так что каждое ребро имеет вид (v_i, v_j), где v_iA и v_jB. Двудольный граф называется полным двудольным графом K_{m, n}, если A содержит m вершин, B содержит n вершин и для каждого v_iA, v_jB имеем (v_i, v_j)E.

Пример Полный двудольный граф K_2,4 и полный граф K₄.

Несвязный граф состоит из компонент связности. Компонента связности - множество вершин такое, что из любой вершины этого множества есть путь в любую другую вершину этого множества, но ни из какой вершины этого множества нельзя попасть в некоторую вершину вне этого множества. Очевидно, что сумма количеств вершин компонент связности равна количеству вершин графа. Заметим, что компонента связности может состоять из одной вершины. Если у графа n вершин, то он не может состоять из более чем n компонент связности. У связного графа компонента связности единственная.

У несвязного графа любая компонента связности состоит не более, чем из n-1 вершин. Если известно, что у графа k компонент связности, то даём ещё более строгую оценку: любая компонента связности состоит из не более, чем из n-k+1 вершин.

Если у несвязного графа k компонент связности, то для получения связного графа нужно добавить в граф как минимум k-1 ребро.

Псевдограф — граф, который может содержать петли и/или кратные рёбра

Мультиграф - граф, в котором может быть пара вершин, которая соединена более чем одним ребром (ненаправленным), либо более чем двумя дугами противоположных направлений.

Степенью вершины называется число ребер графа, которым принадлежит эта вершина.

Теорема о сумме степеней вершин графа: В графе G сумма степеней всех его вершин — число четное, равное удвоенному числу ребер графа. Формула суммы степеней для графа G=(V,E):

Следствие. Число нечетных вершин любого графа четно.

Свойства степени вершины:

• В графе G(V,E) сумма степеней всех его вершин – число четное, равное удвоенному числу ребер графа.

• Число нечетных вершин любого графа четно.

• Во всяком графе с n вершинами, где n ≥ 2 всегда найдутся, по меньшей мере, две вершины с одинаковыми степенями.

• Если в графе с n вершинами (n ≥ 2) в точности две вершины имеют одинаковую степень, то в этом графе всегда найдется либо в точности одна вершина степени 0, либо в точности одна вершина степени n-1.

Гамильтонов граф —это граф, содержащий гамильтонову цепь или гамильтонов цикл.

Гамильтонов путь (или гамильтонова цепь) — путь (цепь), содержащий каждую вершину графа ровно один раз. Гамильтонов путь, начальная и конечная вершины которого совпадают, называется гамильтоновым циклом. Гамильтонов цикл является простым остовным циклом.

Простой цикл —цикл, не проходящий дважды через одну вершину.

Остов - подграф, содержащий все вершины графа.

Цикломатическое число графа — минимальное число рёбер, которые надо удалить, чтобы граф стал ациклическим. Для связного графа существует соотношение: p₁(G)=p₀(G)+E(G)-V(G) где p₁(G) — цикломатическое число, p₀ — число компонент связности графа, E(G) — число рёбер, а V(G) — число вершин.

Эйлеров граф - граф, имеющий эйлеров цикл – замкнутую цепь, содержащую все вершины и все рёбра. Очевидно, что эйлеров граф должен быть связным. Если снять ограничения на замкнутость цепи, то граф называется полуэйлеровым.

Теорема (критерий эйлеровости):

Граф с более чем одной вершиной имеет эйлеров цикл тогда и только тогда, когда он связный и каждая его вершина имеет чётную степень.

Доказательство:  Предположим, что граф G имеет эйлеров цикл. Граф является связным, так как каждая вершина принадлежит циклу. Для всякой вершины v графа G каждый раз, когда эйлеров цикл проходит через v, он вносит 2 в степень v. Поэтому степень v чётная.

Обратно, нужно показать, что каждый связный граф, у которого степени вершин чётные, имеет эйлеров цикл. Докажем эту теорему, используя индукцию по числу вершин. Поскольку теорема тривиально справедлива при n<3, начнём индукцию с n=3. Предположим, что каждый связный граф, имеющий менее k вершин, и все вершины которого обладают чётной степенью, содержит эйлеров цикл. Пусть G – связный граф, содержащий k вершин, степени которых чётные. Допустим, что v₁ и  v₂  - вершины графа G. Поскольку граф G – связный, существует путь из v₁ в v₂ .Поскольку степень v₂ – чётная, существует неиспользованное ребро, по которому можно продолжить путь. Поскольку граф конечный, то путь, в конце концов, должен вернуться в v₁  , и эйлеров цикл С₁  можно считать построенным. Если С₁ является эйлеровым циклом для G, тогда доказательство закончено. Если нет, то пусть G^/  - подграф графа G, полученный удалением всех рёбер, принадлежащих С₁. Поскольку С₁ содержит чётное число рёбер, инцидентных каждой вершине, каждая вершина подграфа G^/  имеет чётную степень.

Пусть e – ребро графа G^/ , пусть G_e – компонента графа G^/ , содержащая е. Поскольку G^/  имеет менее, чем k, вершин, и у каждой вершины графа G^/  чётная степень, граф G^/  имеет эйлеров цикл. Пусть С₂ . Далее у С₁ и С₂  имеется общая вершина, допустим, а. Теперь можно продолжить эйлеров цикл, начиная его в а, пройти С₁ , вернуться в а, затем пройти С₂ и вернуться в а. Если новый эйлеров цикл не является эйлеровым циклом для G, продолжаем использовать этот процесс, расширяя наш эйлеров цикл, пока, к конце концов, не получим эйлеров цикл для G .

Н а рис. 3 приведены примеры ориентированной и неориентированной (а), (е) сетей и содержащихся в них цепи (б) и контура (в); пути (б, д), цикла (в, е) и петли (г); бесконтурной (ж) и ациклической (з); связной (а, е, ж, з) и сильно связной (а, е) сетей.

Разрез C в графе - множество его дуг, исключение которых из сети G разделяет ее на два несвязных между собой подграфа G₁, G₂ исходной сети. То есть:

C  {(i, j) : (i, j) A} :

G  G₁ G₂ C; G₁ G₂  , G₁ C  , G₂ C  ; i, j G: i G₁, j G₂; (i, j) C.

Величина разреза C, его пропускная способность R_c (G₁ G₂) в направлении от G₁ к G₂ - это сумма пропускных способностей r_ij всех дуг [i, j] разреза C, начинающихся в G₁ и оканчивающихся в G₂ (см. рис. 4):

R_c (G₁ G₂)  r_ij.

Таким образом, каждый разрез ориентированной сети характеризуется двумя пропускными способностями: R_c (G₁ G₂) и R_c (G₂ G₁). В приложениях теории графов для сетей с одним источником s и одним стоком r большое значение имеют разрезы, разделяющие сток и исток, причем важной оказывается только величина разреза в направлении от источника к стоку. Для таких разрезов s G₁, r G₂; а R_c (s r)  R_c. В каждой конкретной сети разрезов этого типа может быть несколько. Тот из них, величина которого наименьшая, называется минимальным разрезом, а тот, величина которого наибольшая - максимальным разрезом.