Варианты заданий

Второе число шифра	Fн кН	l м	a м	Т МПа	Е ГПа
1	10	1,8	1,4	120	70	1,1	1,05	0,85	0,90
2	20	1,6	1,2	150	80	1,2	1,10	0,90	0,95
3	30	2,6	2,2	250	200	1,3	1,12	0,95	1,05
4	40	2,5	2,0	360	210	1,4	1,15	1,00	1,10
5	50	2,2	1,8	240	205	1,3	1,10	0,90	1,05

Задача 6 Плоское напряжённое состояние в точке и прочность

В некоторой точке упругого тела заданы: компоненты напряжённого состояния _х, _у, _z, _xy, _yz, _zx; расчётные сопротивления материала на растяжение и сжатие R_р , R_с; коэффициент условий работы . Требуется:

1. Написать тензор напряжений.

2. Изобразить напряжённое состояние в виде кубика с указанием координатных осей и напряжений, приложенных к его граням.

3. Вычислить инварианты тензора напряжений J₁, J₂, J₃ и записать характеристическое (кубическое) уравнение.

4. Решить характеристическое уравнение и определить главные напряжения ₁, ₂, ₃ .

5. Выбрать теорию прочности, соответствующую данному материалу, и найти эквивалентное напряжение.

6. Проверить прочность.

Исходные данные

Первое число шифра	х МПа	у МПа	z МПа	xy МПа	xz МПа	yz МПа
31	40	–10	–20	–25	15	–35

Второе число шифра	Rр МПа	Rс МПа
5	125	125	0,8

Решение

1) Тензор напряжений

МПа.

2) Напряжённое состояние в точке.

Показываем элементарный параллеле­пи­пед (кубик) в системе координатных осей x, y, z. При изображении напряжений с помощью стре­лок учитываются их знаки, данные в тензоре напряжений. Визуально невидимые напряжения на гранях не показываются, чтобы не загромождать рисунок. На рисунке относительные толщины линий должны быть следующими: оси – тонкие линии, ребра паралле­лепи­педа – толще, стрелки напряжений – толстые.

3) Инварианты тензора напряжений.

МПа²,

Характеристическое уравнение в общем виде является кубическим

³ – J₁² + J₂ – J₃ = 0.

Перепишем его с учётом найденных численных значений инвариантов

³ – 10² – 3075 – 0 = 0.

4) Решение характеристического уравнения. Преобразуем его к виду

(² – 10 – 3075) = 0.

Очевидно, что один из корней уравнения равен нулю, = 0. Остальные два найдутся из квадратного уравнения

² – 10 – 3075 = 0.

Конкретно

= 5 ± = 5 ± 55,68;

= 5 + 55,68 = 60,68 МПа, = 5 – 55,68 = –50,68 МПа.

Вычисленные корни являются главными напряжениями. Упорядочим их обозначения так, чтобы они располагались в убывающем порядке

.

Отсюда следует

= 60,68 МПа, = 0 МПа, = –50,68 МПа.

Равенство нулю одного из главных напряжений означает, что данное напряжённое состояние является плоским.

5) Эквивалентное напряжение.

Материал, применяемый в данном случае, является пластичным и имеет одинаковые расчётные сопротивления при растяжении и сжатии. Поэтому для определения эквивалентного напряжения наиболее подходящей является теория прочности Хубера-Мизеса (энергетическая теория). Вычисляем по соответствующей формуле

Для материалов с неодинаковыми расчётными сопротивлениями эквивалентное напряжение вычисляется по теории Мора

6) Проверка прочности. Условие прочности имеет вид

_экв ≤ R_р .

Подставляя числа, получим

96,57 ≤ 125·0,8 = 100.

96,57 МПа ≤ 100 МПа.

Отсюда следует, что прочность в данной точке тела обеспечена.