Варианты заданий

Второе число шифра	q кН/м	F1 кН	F2 кН	R МПа			l м	A cм2
1	18	15	20	240	0,85	1,2	1,0	2,0
2	12	24	14	280	0,90	1,3	1,5	1,8
3	18	30	20	300	0,95	1,1	1,2	1,6
4	12	14	26	340	0,90	1,2	1,8	1,4
5	15	20	16	360	0,85	1,4	1,4	1,9

Задача 5 Расчёт шарнирно-стержневой системы на прочность и жёсткость по предельным состояниям

Шарнирно-стержневая система, состоящая из упругих тяг, нагружена сосредоточенной нормативной силой F_н. Предел текучести материала _т, модуль упругости Е. Коэффициенты надёжности: по нагрузке – _f, по материалу – _m, по условию работы – _c, по ответственности – _n.

Из расчёта на прочность по первому предельному состоянию определить требуемые площади поперечных сечений тяг, вычислить полное перемещение точки приложения силы F по второму предельному состоянию. Изобразить деформированное состояние системы.

Исходные данные

Шифр	Fн кН	l м	a м	T МПа	Е ГПа
31–6	25	1,8	1,2	320	200	1,2	1,15	0,9	0,95

Р

Расчётная схема

Рис. 1

Рис. 2

ешение

Обозначим номера стержней 1, 2, узел В (рис. 1). Расчёты на прочность требуют предварительного определения продольных сил в тягах. Воспользуемся методом сечений и вырежем узел В (рис. 2). Укажем оси х, у.

Расчёты по вычислению перемещения точки В будут проводиться по второму предельному состоянию. Поэтому в качестве нагрузки пока оставим заданную нормативную силу F_н. Покажем на схеме оси x и у, продольные силы N₁, N₂. При этом целесообразно направления сил избрать положительными, т.е. на растяжение. Воспользуемся уравнениями равновесия:

= 0, –N₁ cos 60 – N₂ cos 50 = 0,

= 0, N₁ cos 30 – N₂ cos 40 – F_н = 0.

После подстановки чисел уравнения примут вид

–0,5N₁ – 0,643N₂ = 0, 0,866N₁ – 0,766N₂ = F_н.

Отсюда

N₁ = 17,10 кH, N₂ = –13,30 кH.

Знак минус в ответе означает, что сила N₂ имеет направление, противо­положное изображённому на схеме, и будет сжимающей силой.

Найдены нормативные усилия. Для расчётов на прочность потребуются их расчётные значения и нормативное сопротивление материала. Расчётные значения получим, умножая нормативные величины на коэффициент надёжности по нагрузке:

N_1р = N₁ = 17,10 · 1,2 = 20,52 кН,

N_2р = N₂ = –13,30 · 1,2 = –15,96 кН.

Нормативное сопротивление равно пределу текучести, т.е. R_н = _T = 320 МПа. Расчётное сопротивление материала вычислим по соответствующей формуле:

Требуемые площади поперечных сечений стержней найдутся из условия прочности. Для первого стержня оно имеет вид:

(1)

где A₁ – искомая площадь сечения. Определим её из (1):

= 58,38 · 10^-6 м² = 58,38 мм².

Аналогично вычисляется площадь сечения второго стержня:

= 37,84 · 10^-6 м² = 37,84 мм².

Перемещение точки B зависит от деформации тяг. Определим их по формуле закона Гука при нормативных значениях усилий в сечениях стержней:

∆l = = 0,00264 м = 2,64 мм,

∆a = = –0,00211 м = –2,11 мм.

В

Рис. 3

ыполним геометрические построения, связанные с деформацией стержней и перемещением шарнира В (рис. 3). Продлим прямую вдоль стержня 1 и на ней отложим отрезок ВL, равный удлинению l. Стержень 2 сжимается, поэтому его деформация получена со знаком минус, откладываем а в сторону укорочения на самом стержне 2, т.е. в виде отрезка ВK. Шарнир В должен переместиться в точку пересечения дуг, описанных из центров D, С (рис. 1) и проходящих через точки L и K. Поскольку деформации малы, (в данном случае порядка 2 мм), дуги окружностей заменяем перпендикулярами к стержням, и они пересекаются в точке B'.

Задача далее состоит в том, чтобы найти перемещение BB'. Для её решения из точек B и B' проведём горизонтальную и вертикальную составляющие u и v.

Простые геометрические соображения позволяют записать соотношения:

l = BL = BH + LH = v cos 30˚ + u sin 30,

|a| = KB = BG – KG = v cos 40– u cos 50. (2)

Нетрудно заметить, что они образуют линейную алгебраическую систему относительно u и v:

0,866 v + 0,5 u = 2,64, 0,766 v – 0,6428 u = 2,11.

При составлении равенства (2) длина отрезка GA должна иметь положительное значение, поэтому деформация а берётся по модулю. Решение системы уравнений даёт

v = 2,92 мм, u = 0,21 мм.

Из прямоугольного треугольника BB'L находим

BB' = = 2,93 мм.