Варианты заданий

Второе число шифра	a см	b см	c см
1	12	18	28
2	14	20	30
3	16	24	34
4	18	26	36
5	15	22	35

Задача 4 Растяжение – сжатие прямолинейного ступенчатого стержня

Прямолинейный упругий ступенчатый стержень нагружен вдоль оси нормативными сосредоточенными силами F_1н, F_2н и равномерно распределённой нагрузкой q_н. Модуль упругости материала Е = 210 ГПа, предел текучести материала _т.

Вычислить продольную силу N, напряжения в поперечных сечениях , относительную линейную деформацию  и перемещения u для характерных сечений; построить эпюры N, , , u; проверить прочность конструкции по первой группе предельных состояний.

Исходные данные

Шифр	qн кН/м	F1н кН	F2н кН	R МПа			l м	A cм2
31–6	12	16	14	270	0,95	1,1	1,0	2,0

Расчётная схема и эпюры

Решение

На рисунке показываем координатную ось z-ов с началом на левом конце стержня, направленную вправо. В заделке правого конца возникает опорная реакция R₀. Она единственная, поскольку все силы, приложенные к стержню, направлены вдоль одной прямой, в данном случае вдоль продольной осевой линии стержня. Она войдет в уравнения равновесия, поэтому вычислим её. Направление вправо, показанное на чертеже, выбрано произвольно. Истинное направление будет найдено в ходе вычислений.

Расчёты на первом этапе будем проводить по второй группе предельных состояний, т.е. по нормативным нагрузкам. В целом стержень находится в равновесии. Поэтому система сил, приложенных к нему, включая и опорную реакцию, должна удовлетворять уравнению равновесия

.

Отсюда находим

Знак минус, полученный в ответе, означает, что истинное направление реакции противоположно направлению, выбранному на схеме.

Стержень вдоль длины имеет четыре участка. Обозначим их на расчётной схеме. Для определения продольных сил далее применим метод сечений. С этой целью внутри каждого участка, в произвольном месте, проводим поперечные сечения 1–1, 2–2, 3–3, 4–4. В результате стержень каждый раз разделяется на левую и правую части. Уравнение равновесия любой из них даёт значение продольной силы и её направление. Рассмотрим каждый участок отдельно.

1 Участок z [0; l]

В озьмём для рассмотрения левую отсечённую часть, так как к ней приложено меньшее количество сил. Укажем ось z-ов с началом на левом конце и продольную силу N. Её лучше направлять в положительную сторону, что в данном случае означает направление на растяжение, т.е. направо. Удобство такого приёма состоит в том, что при его применении автоматически получается ответ, учитывающий правило знаков для продольной силы.

Составим уравнение равновесия для отсечённой части:

F_1н + N = 0.

Отсюда имеем

N = –F_1н = –16 кН.

Полученный в ответе знак минус означает, что направление продольной силы, показанное на рисунке, не соответствует истинному, т. е. она направлена влево, на сжатие.

Для построения эпюры N проводим её нулевую линию параллельно продольной оси стержня. Полученный результат является постоянной отрицательной величиной. Поэтому на эпюре ей соответствует горизонтальная линия, проведенная ниже нулевой линии на расстоянии, отложенном в выбранном масштабе. Знак минус на таком рисунке указывается в кружочке, сама эпюра штрихуется перпендикулярно нулевой линии, т.е. вертикально. В избранном масштабе штриховые линии изображают значения продольных сил в сечениях. Поэтому штриховать эпюры следует строго вертикально (не горизонтально, не наклонно!).

Теперь найдём нормальные напряжения в сечениях

Здесь при подстановке чисел в формулу следует перейти к единицам измерения в системе СИ:

1 кН = 10³ Н, 1 см² = 10^-4 м².

Перейдём к определению относительных деформаций. По закону Гука

В таком же порядке рассматриваются и другие участки.