Задачи и примеры решений Задача 1 Определение внутренних сил методом сечений

Для поперечных сечений 1–1, 2–2, 3–3 заданных расчётных схем а, б, в, г определить внутренние силы:

а) продольные силы N;

б) крутящие моменты M_к (или M_z);

в) продольные силы N, поперечные силы Q, изгибающие моменты М_х;

г) продольные силы N, поперечные силы Q_х, Q_у, изгибающие моменты М_х, М_у, крутящие моменты M_к.

Исходные данные

Шифр	а м	м	h м	F кН	M кНм	q кН/м
31–6	1,1	1,5	1,2	50	40	60

Расчётная схема a) Решение

Для определения продольных сил используем метод сечений. Сечения уже проведены. Рассмотрим каждое из них.

Сечение 1–1

Р ассматриваем равновесие правой отсечённой части. Рассмотрение левой отсечённой части невыгодно, так как к ней приложена неизвестная и не показанная на чертеже опорная реакция. Показываем координатную ось z-ов и стрелкой неизвестную силу N. Направление стрелки при этом произвольное. Составляем уравнение равновесия для правой части:

.

Отсюда находим

.

С ечение 2–2

Берём правую отсечённую часть и определяем продольную силу:

–N – 3F + F = 0,

_{N = –2F = –2 · 50 = –100 кН.}

Знак минус означает, что действительное направление силы N противоположно показанному на чертеже.

С ечение 3–3

,

.

Расчётная схема б)

П ользуясь методом сечений, находим крутящие моменты в сечениях. Чтобы не определять опорную реакцию в заделке на правом конце стержня, будем рассматривать только левые отсечённые части.

С ечение 1–1

Проводим в произвольном направлении координатную ось z-ов. Пусть она будет направлена вправо. Изображаем в сечении искомый крутящий момент M_к. Его направление при этом будет произвольным. Составим уравнение равновесия для отсечённой час­ти в виде равенства нулю суммы моментов относительно оси z-ов:

Отсюда находим крутящий момент в сечении:

M_к = M = 40 кНм.

При составлении данного уравнения знак момента принят положительным, если он направлен по часовой стрелке при взгляде справа. Можно принять и обратное правило, по которому такой момент считается отрицательным. Тогда уравнение равновесия имеет вид

Как можно легко убедиться, отсюда получается тот же ответ, т. е. тот же крутящий момент M_к. Следовательно, при составлении уравнения равновесия правило знаков, принимаемое для момента, не влияет на ответ. Поэтому можно принимать любое правило знаков для моментов. Но, разумеется, одно и то же правило должно применяться до конца составления уравнения.

С ечение 2–2

Действуя аналогично предыдущему случаю, имеем

M_к = –2M + M = –M = –40 кНм.

Знак минус в ответе указывает на то, что крутящий момент в сечении, показанный на чертеже, в действительности направлен в противоположную сторону.

Сечение 3–3

М_к = М – 2М + 3М = 2М = 2·40=80 кНм.

Расчётная схема в)

П оказываем координатные оси z, y. Положение начала координат при этом не имеет значения. На чертеже указываем опорные реакции R₁, R₂, R₃. Их направления избраны произвольно. Для их вычисления используются уравнения равновесия. Удобно взять в качестве первого из них равенство нулю суммы проекций всех сил на координатную ось у-ов, так как содержит лишь одну неизвестную опорную реакцию R₂:

Далее возьмём равенство нулю суммы моментов относительно точки А, содержащее также одну неизвестную:

При составлении этого уравнения для моментов, направленных по часовой стрелке, принят знак плюс. Отсюда находим

Третье уравнение равновесия даёт:

Приступим к определению внутренних сил в сечениях.

С ечение 1–1

Удобнее рассмотреть левую отсечённую часть. Намечаем оси y, z. Ось х-ов перпендикулярна чертежу и не показана. Отмечаем на рисунке внутренние силы N, Q_y, M_x произвольных направлений. Для их определения используем уравнения равновесия для отсечённой части:

.

С ечение 2–2

Рассматриваем нижнюю отсечённую часть. Показываем оси y, z, внутренние силы N, Q_y, M_x. Определяем внутренние силы:

.

.

.

С ечение 3–3

Теперь выгодно рассмотреть правую отсечённую часть. На схему наносим координатные оси y, z, внутренние силы N, Q_y, M_x.. Используя уравнения равновесия, определяем внутренние силы:

Расчётная схема г)

П оказываем координатные оси x, y, z, общие для всей расчётной схемы. В шарнирно-неподвижной опоре возникают три опорные реакции R₁, R₂, R₃. Остальные опоры шарнирно-подвижные, поэтому в них возникает по одной опорной реакции: R₄, R₅, R₆. Направления реакций выбираются произвольно. С целью определения реакций опор составим уравнения равновесия всей системы:

1)

2)

3)

4) ,

5)

6) .

Из 6): .

Пользуясь остальными уравнениями, последовательно получим

Из 2): .

Из 4):

Из 3):

Из 5):

Из 1):

Перейдём к вычислению внутренних сил в сечениях.

Сечение 1–1

В ыбираем левую отсечённую часть. Показываем для неё координатные оси и внутренние силы. Их направления произвольные. В отличие от ранее избранных, теперь координатные оси локальные, т.е. свои для данной отсечённой части. С помощью уравнений равновесия находим внутренние силы:

1) , кН.

2) , .

3) .

4) ,

5)

6) .

Сечение 2–2

Производим действия, аналогичные приведенным выше для сечения 1–1, и находим:

1 ) ,

2)

3)

4) ,

5) ,

6)

Сечение 3–3

Действуя как в предыдущих случаях, получим:

1) ;

2) ;

3)

4) ,

.

5)

6) .