Варианты заданий

Второе число шифра	м	h/b	Fн кН	Mн кНм	qн кН/м	т МПа
1	2,5	1,9	10	50	12	300	1,10	1,15	1,35	1,05	0,80	0,85
2	2,4	1,5	9	40	10	320	1,05	1,10	1,30	1,15	0,90	1,10
3	2,2	2,0	12	60	15	340	1,15	1,20	1,25	1,10	0,85	1,15
4	2,3	1,8	8	55	14	260	1,20	1,25	1,40	1,05	0,95	1,00
5	2,1	1,6	11	45	13	250	1,11	1,18	1,38	1,12	0,88	1,13

Задача 11 Статически неопределимая балка

Для заданной статически неопределимой балки из стального прокатного двутавра требуется:

1. Определить степень статической неопределённости.

2. Раскрыть статическую неопределённость с помощью метода сил.

3. Построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М.

4. Подобрать сечение балки из стального двутавра.

5. Вычислить прогибы на границах и в серединах участков.

6. Построить кривую изогнутой оси балки по результатам вычислений и в соответствии с эпюрой изгибающих моментов.

Модуль упругости материала Е = 200 ГПа. Заданные значения нагрузок являются расчётными.

Исходные данные

Шифр	l м	a м	b м	F кН	M кНм	q кН/м	R МПа
31–5	3,2	1,8	1,0	90	160	60	250	0,9

Расчётная схема и эпюры Решение

Д

Рис. 1

анная балка (рис. 1а) статически неопределима, потому что количество опорных реакций равно четырём (три – в заделке, одна – в шарнирно подвижной опоре), а уравнений равновесия – три. Степень статической неопределённости, таким образом, равна единице. Будем раскрывать статическую неопределённость с помощью метода сил. Соответствующее каноническое уравнение имеет вид

(1)

Здесь X₁ – реакция отбрасываемой связи. В качестве такой связи примем шарнирно неподвижную опору. Основная система принимает вид геометрически неизменяемой консольной балки с защемлённым правым концом (рис. 1б).

Прикладываем к основной системе заданную нагрузку и неизвестную опорную реакцию Х₁ в отброшенной связи и получаем эквивалентную систему рис. 1в. Уравнение (1) является математическим выражением факта, что перемещение в направлении неизвестной силы X₁ должно равняться нулю, поскольку в месте её приложения на самом деле имеется опора, не позволяющая балке перемещаться.

Для решения уравнения необходимо сначала найти коэффициент и свободный член уравнения (1). Они представляют собой перемещения в направлении силы X₁ от единичной силы (₁₁) и нагрузок (_1F). Отсюда следует, что необходимо построить эпюры изгибающих моментов от этих сил. Влияние продольных и поперечных сил на величину перемещений весьма незначительное, поэтому они не учитываются в вычислениях.

Эпюры изгибающих моментов построены по их значениям в отдельных характерных точках балки A, B, C, D, G, H, K. Они вычисляются с помощью метода сечений несложным путём и поэтому соответствующие выкладки здесь не приводятся. Результатом действий являются расчётные схемы 1г, 1е и эпюры, соответствующие им: 1д, 1ж. В последних соблюдается правило построения эпюр, по которому ординаты откладываются со стороны растянутых волокон.

Теперь приступим к определению перемещений, включённых в уравнение (1). По правилу Верещагина

.

По формуле Симпсона

Подстановка в уравнение (1) и сокращение на EJ даёт

42,67X₁ – 6009 = 0,

Решая, получим

X₁ = 144,2 кН.

Знак плюс в ответе показывает, что направление силы Х₁ совпадает с изображённым на рис. 1в.

Для построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в сечениях проведём вычисления для сечений, отмеченных на рис. 1а.

Q_A = –F = –90 кН, Q_C = –F – qb = –90 –60·1 = –150 кН,

Q_D = –F – qb + X₁= –90 –60·1 + 144,2 = –5,8 кН, Q_G = Q_H = Q_K = –5,8 кН.

Для вычисления изгибающих моментов воспользуемся их ранее вычисленными значениями и принципом независимости действия сил, т.е. формулой

.

В соответствии с ней

M_A= 0, M_B = –52,5 кНм, M_C= M_D = –120 кНм,

M_G = –390 + 1,8· 144,2 = 130,4 кНм, M_H = –230 + 1,8·144,2 = 29,6 кНм,

M_K = –710 + 5·144,2 = 11,1 кНм.

По результатам вычислений построены эпюры Q и M, показанные на рис. 1з, 1и.

Теперь перейдём к подбору сечения. Опасным сечением является сечение с максимальным изгибающим моментом М_max = 130,4 кНм. Требующийся номер двутавра найдётся из условия прочности допускаемым напряжениям, которое имеет вид

(2)

где W – искомый осевой момент сопротивления поперечного сечения. Определим его из (2)

.

Подберём двутавр, соответствующий такому значению момента сопротивления. По таблице сортамента наиболее подходящим является двутавр № 33 с осевым моментом сопротивления W = 597 см³, осевым моментом инерции J = 9840 см⁴.

Для определения угловых и линейных перемещений сечений воспользуемся методом начальных параметров. Введём координатную систему zy c началом на левом конце балки. Общие формулы для определения перемещений имеют вид

(3)

(4)

где (z), v(z) – угол поворота и прогиб произвольного сечения балки, ₀, v₀ – угол поворота и прогиб в начале координат. Начало координат здесь совпадает со свободным концом балки. Поэтому ₀ и v₀ являются неизвестными величинами. М, F, q – нагрузки, причем положительными являются: момент по часовой стрелке, сосредоточенная сила, направленная вверх, равномерно распределённая нагрузка, направленная вверх, z_М, z_F – абсциссы точек приложения момента и сосредоточенной силы, z_q – абсцисса начала распределенной нагрузки. В формулу включаются лишь те нагрузки, которые находятся левее сечения, для которого вычисляются перемещения. Для непосредственного пользования формулами (3), (4) необходимо определить и v₀. Для этого надо воспользоваться тем, что правый конец балки защемлён, и его угол поворота, вычисляемый по (3) при z = a + b + = 6 м, должен равняться нулю. Отсюда следует

При составлении уравнения слагаемые для сосредоточенной силы и распределённой нагрузки учтены дважды. В первом случае учтено, что левее рассматриваемого сечения действуют две силы: F и опорная реакция X₁. Во втором случае учтено, что распределённая нагрузка q прерывается в точке С, расположенной левее рассматриваемого сечения K, что не допускается в методе начальных параметров. Поэтому распределённая нагрузка продлена до конца балки (см. пунктир на рис. 1а), и для сохранения эквивалентности расчётной схемы к ней приложена нагрузка противоположного направления. При подстановке в формулу числа преобразованы так, чтобы единицы измерения совпадали с основными единицами системы СИ. Знак плюс в ответе означает, что левый конец балки поворачивается против часовой стрелки.

Второй параметр v₀ найдётся из условия, что прогиб в точке С над опорой также равен нулю

(5)

Отсюда получим

Теперь формулы метода начальных параметров (3), (4) готовы для вычисления перемещений в любой точке балки. Необходимо лишь помнить, что в их правых частях должны учитываться только нагрузки, расположенные левее рассматриваемого сечения.

Результаты проведённых вычислений для прогибов сведены в таблицу.

z, м	0,0	0,5	1,0	1,9	2,8	4,4	6,0
v, см	–1,00	–0,47	0,00	0,48	0,45	0,09	0,00

По этим данным построена кривая изогнутой оси, показанная на рис. 1к. Отметим, что кривая направлена выпуклостью вверх на участке балки, где изгибающий момент отрицательный, и – вниз, где изгибающий момент положительный. На правом конце касательная к кривой горизонтальна, что соответствует равенству нулю угла поворота сечения балки в защемлении.