2.3. Відношення рівності

На будь-якій скінченій множині A сукупність всіх впорядкованих пар, в яких обидві координати рівні між собою, називається відношенням рівності на множині A або діагоналлю і позначається _A = { (a, a) | a  A }.

Для довільного бінарного відношення P  A² виконується рівність _A ○ P = P ○ _A = P.

Для бінарної відповідності P  A ´ B, де A і B - довільні скінчені множини, виконуються наступні рівності: _A ○ P = P , P ○ _B = P

Приклад 1. Для множини A = {1, 2, 3, 4} побудувати діагональ та довести, що виконується рівність

_A ○ P = P ○ _A (*).

Діагональ множини А має вигляд: _A = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) }

Для доведення рівності (*) розглянемо довільне бінарне відношення P  A²:

P = { (1, 2), (2, 3), (3 ,4) }.

Знайдемо наступні комбінації:

_A ○ P = { (1,2), (2,3), (3,4) }

P ○ _A = { (1,2), (2,3), (3,4) }

Отже, _A ○ P = P ○ _A. Рівність (*) доведено.

Приклад 2. Для множин A = { 1, 2, 3, 4 } і B = { a, b ,c } перевірити, чи виконуються наступні рівності

_A ○ P = P , P ○ _B = P , де P = { (1, b), (2, a), (3, c) } – довільна відповідність.

Діагоналі на цих множинах мають вигляд:

_A = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) }

_B = { (a, a), (b, b), (c, c) }

Знайдемо наступні комбінації:

_A ○ P = { (1, b), (2, a), (3, c ) }

P ○ _B = { (1, b), (2, a), (3, c) }

Звідси, _A ○ P = P ○ _B = P

Отже, розглянуті рівності виконуються для довільної відповідності P  A ´ B.

2.4. Властивості бінарних відношень. Відношення еквівалентності

Нехай R - довільне бінарне відношення на множині A.

Бінарне відношення R називається:

• рефлексивним, якщо для будь-якого елемента a  A справедливий вираз (a, a)  R.

• антирефлексивним, якщо для будь-якого елемента a  A пара (a, a)  R.

• симетричним, якщо для будь-яких елементів a, b  А з належності пари (a, b)  R слідує належність інверсної пари (b, a)  R.

• антисиметричним, якщо з виразів (a, b)  R і (b, a)  R слідує рівність a = b.

• транзитивним, якщо з виразів (a, b) Î R і (b, с) Î R слідує, що (a, с) Î R..

Бінарне відношення R називається відношенням еквівалентності (або просто еквівалентністю), якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.

Приклад 1. Відношення „  ” та „мати спільний дільник” є рефлексивними на множині натуральних чисел N, а відношення „ ” є антирефлексивним. На множині людей відношення „бути сином” також є антирефлексивним. На множині дійсних точок площини відношення „бути симетричним відносно осі х” не є ні рефлексивним, ні антирефлексивним, оскільки точка площини симетрична сама собі, якщо вона лежить на осі х, і несиметрична сама собі в протилежному випадку.

Приклад 2. Відношення „бути симетричним відносно осі х” є симетричним на множині дійсних точок площини: якщо перша точка симетрична другій, то і друга симетрична першій. Відношення „  ” є антисиметричним на множині натуральних чисел N. Дійсно, якщо a b та b a, тоді a=b.

Приклад 3. На множині натуральних чисел N відношення „рівність”, „  ” – транзитивні. Відношення „жити в одному місті” є транзитивним на множині людей, а відношення „бути сином” не є транзитивним. Відношення „перетинатися”, тобто „мати непорожній перетин”, задане в системі множин, також нетранзитивне. Наприклад, {1, 2} перетинається з {2, 3}, {2, 3} перетинається з {3, 4}, але {1, 2} і {3, 4} не перетинаються.

Приклад 4. Розглянемо множину трикутників на площині, враховуючи, що трикутник задано, якщо задані координати його вершин. Два триктуника називаються конгруентними (іноді їх просто називають рівними), якщо вони при накладанні співпадають, тобто можуть бути переведені друг у друга шляхом деякого переміщення. Конгруентність є відношенням еквівалентності на множині трикутників.

Приклад 5. Відношення „мати один і той самй залишок від ділення на 7” є еквівалентністю на множині натуральних чисел N. Це відношення виконується, наприклад, для пар (11, 46), (14, 70) і не виконується для пар (12, 13), (14, 71).