Билет 25

Вопрос 1

Кинематика твёрдого тела. Поступательное и вращательное движение твёрдого тела. Плоское движение. Мгновенная ось вращения.

Кинематика – раздел механики, посвящённый изучению геометрических свойств движений тел, без учёта их масс и действующих на них сил.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором отрезок, соединяющий любые 2 точки тела, остается параллельным самому себе.

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором траектории всех точек тела представляют собой окружности, параллельные друг другу.

Плоским называется такое движение твёрдого тела, при котором траектории всех его точек располагаются в параллельных плоскостях.

Мгновенной называется такая ось вращения, при помощи которой движение твердого тела в данное мнгновение можно представить как только (чисто) вращательное.

Кинематика твердого тела

(Абсолютно) твердое тело – это система материальных точек, относительные положения которых остаются неизменными, то есть все макроскопические элементы такого тела неподвижны в системе координат жестко связанной с телом

Задача кинематики твердого тела – дать способы описания движения твердого тела и, исходя из закона его движения , определить положение , скорость и ускорение любой точки тела в любой момент времени.

Поступательное движение

Поступательное движение – это такое движение, при котором любой выделенный в теле отрезок остается параллельным самому себе (движение кабинок «колеса обозрения»).

Допустим, закон движения точки А задан в виде

Т огда закон движения точки В будет иметь вид

Где r_AB – вектор проведенный от точки А к точке В

Скорость точки А V_A=dr_A/dt

Скорость точки В V_B=dr_B/dt=V_A, т.к. r_AB=const

Ускорение: a_A=dV_A/dt=dV_B/dt=a_B

Вращательное движение

Вращательное движение – такое движение твердого тела, при котором траектории всех точек тела представляют собой окружности, параллельные друг другу.

Прямая, проходящая через две неподвижные точки, называется осью вращения. Все точки твердого тела, лежащие на оси вращения, неподвижны. Другие точки движутся по окружностям в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Угловое перемещение всех точек твердого тела за одно и тоже время будут одинаковыми.

Угловая скорость:

Вектор элементарного углового перемещения Δφ направлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом буравчика. Вектор угловой скорости ω=dφ/dt определяет модуль угловой скорости, ориентацию оси вращения в пространстве и направление вращения тела.

Вектор скорости V_A: V_A=ω×r_A (формула Эйлера)

V_A= ω r_A*sinα=ωρ

Ускорение точки А:

a_A=d ω/dt×r_A+ ω×dr_A/dt=ε×r_A+ω×V_A

 - угловое ускорение тела

a_A=a_+a_n - все три вектора лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения

a_=×r_A=*ρ* - тангенциальное ускорение ( - единичный вектор в направлении V_A).

a_n= ω× V_A= ω×( ω× r_A)= ω²n – центростремительное ускорение (n – единичный вектор в направлении к оси вращения)

Плоское движение

Плоское движение – это такое движение твердого тела, при котором траектории всех его точек лежат в неподвижных параллельных плоскостях.

Скорость любой точки А тела геометрически складывается из скорости какой-либо другой точки О, принятой за полюс, и скорости вращательного движения вокруг этого полюса.

Радиус-вектор точки А:

r_A=r₀+r` , r` - вектор, проведенный из полюса в точку А.

Скорость точки А:

V_A= dr_A/dt= dr₀/dt+ dr`/dt=V<sub>0</sub>+ ω× r`

Отсюда можно сделать вывод, что в любой момент времени должна существовать такая точка М, скорость которой в лабораторной системе X Y Z равна нулю – для этой точки

V₀= -ω×r`

Причем точка может находиться и вне тела.

Таким образом, плоское движение твердого тела в данный момент времени можно представить как чистое вращение вокруг оси, проходящей через эту точку М - мгновенной оси вращения.

Ускорение точки А:

a_A=dV_A/dt=dV₀/dt+dω/dt×r`+ω× dr`/dt=a₀+a_+a_n

a_=×r`

a_n= ω× dr`/dt=ω×(ω×r`)=ω*(ω*r`)-r`(ω*ω)=- ω²*r`

((ω*r`)=0, т.к. ωr`)