Задание 2.

Имеются данные зависимости потребления электроэнергии Y (тыс. кВт/ч) от объёмов производства продукции А – Х₁ (тыс. ед.) и продукции В – Х₂ (тыс. ед.):

№ п/п	Y	Х1	Х2
1	10	5,0	1,3
2	12	5,1	1,8
3	13	4,8	2,2
4	14	4,9	1,7
5	15	6,2	2,0

1. Составить уравнение множественной линейной регрессии y = a + b₁x₁ + b₂x₂ + ε в матричной форме, используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.

2. Найти оценки параметров а, b₁, b₂, ².

3. Найти коэффициент детерминации и оценить уравнение регрессивной связи.

4. Оценить статистическую зависимость между переменными.

Решение:

1. Для расчёта параметров уравнения множественной линейной регрессии построим расчётную таблицу 2.1.

Таблица 2.1.

Расчётная таблица

№	х1	х2	у			у2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	5	1,3	10	25	1,69	100	6,5	50	13
2	5,1	1,8	12	26,01	3,24	144	9,18	61,2	21,6
3	4,8	2,2	13	23,04	4,84	169	10,56	62,4	28,6
4	4,9	1,7	14	24,01	2,89	196	8,33	68,6	23,8
5	6,2	2	15	38,44	4	225	12,4	93	30
Итого	26	9	64	136,5	16,66	834	46,97	335,2	117
Среднее значение	5,2	1,8	12,8	27,3	3,332	166,8	9,394	67,04	23,4
	0,51	0,3	1,72	-	-	-	-	-	-
	0,26	0,092	2,96	-	-	-	-	-	-

Составить уравнение множественной линейной регрессии y = a + b₁x₁ + b₂x₂ + ε в матричной форме, используя метод наименьших квадратов.

Система нормальных уравнений в матричной форме имеет вид:

где - матрица коэффициентов системы;

- вектор оценок; - вектор оценок;

Найдём значение матриц:

_,

_{Вектор оценок коэффициентов регрессии равен:}

Откуда получаем, что а=-0,602, b₁=1,402, b₂= 3,395. Т.е. получаем следующее уравнение множественной регрессии (оценку уравнения регрессии):

.

Оно показывает, что при увеличении только объём производства продукции А на 1 тыс.ед, потребление электроэнергии увеличится в среднем на 1,402 кВт/ч, а при увеличении только объёма производства продукции В на 1 тыс.ед - в среднем на 3,395 кВт/ч.

Найдём уравнение множественной регрессии в стандартизированном масштабе.

При этом стандартизированные коэффициенты регрессии будут:

,

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом

Так как стандартизированные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что на потребление электроэнергии большее влияние оказывает объём производства продукции А, чем объём производства продукции В.

Сравнить влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности

, ,

Т.е. увеличение только объёма производства продукции А или только объёма производства продукции В на 1% увеличивает в среднем потребление электроэнергии на 0,57 или 0,48 соответственно. Таким образом подтверждается большее влияние на результат «у» фактора х₂, чем фактора х₁.

2. Найдём оценки параметров.

Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и x_i) при условии, что влияние на них остальных факторов (x_j) устранено.

,

Теснота связи умеренная

,

Теснота связи умеренная

,

Теснота связи умеренная

,

Теснота связи низкая.

,

Теснота связи умеренная

,

Теснота связи низкая.

Т.е. можно сделать вывод, что фактор х₂ оказывает более сильное влияние на результат, чем признак х₁.

3. Рассчитаем множественный коэффициент корреляции:

Далее рассчитаем коэффициент множественной детерминации:

R²= 0.8² = 0.6403

Можно сказать, что в 64,03 % случаев изменения объёмов производства продукции А или продукции В приводят к изменению количества потребляемой электроэнергии. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии – средняя.

4.Оценка статистической значимости уравнения регрессии осуществляется с помощью критерия Фишера:

Табличное значение при степенях свободы К₁=2, К₂=2 составляет F_kp(2;2)=19. Поскольку фактическое значение F<F_kp, то коэффициент детерминации статистически не значим и уравнение регрессии статистически не надёжно.

Оценим целесообразность включения фактора х₁ после фактора х₂ и х₂ после фактора х₁ с помощью F-критерия Фишера.

Табличное значение частного F-критерия Фишера при пятипроцентном уровне значимости ( F_табл=18,51. Т.к.F_x1 =0.89< F_табл=18.51,и F_x2 =1,89< F_табл=18.51, то включение фактора х₁ и х₂ в модель статистически неоправданно и дополнительное включение фактора х₁ после фактора х₂ и х₂ после фактора х_1, целесообразно.