3.1 Математические модели каналов связи

При синтезе систем связи для передачи информации через физические каналы мы используем математические модели, которые отображают наиболее важные характеристики среды передачи. Затем математическая модель канала используется для синтеза кодера и модулятора в передатчике и демодулятора и декодера в приёмнике.

Канал с аддитивным шумом. Самая простая математическая модель для канала связи - это канал с аддитивным шумом, иллюстрируемый на рисунке 3.1. В этой модели передаваемый сигнал s(t) подвержен воздействию лишь аддитивного шумового процесса n(t). Физически аддитивный шум возникает от посторонних электрических помех, электронных компонентов и усилителей в приёмнике систем связи, а также из-за интерференции сигналов.

Рисунок 3.1- Канал с аддитивным шумом

Если шум обусловлен в основном электронными компонентами и усилителями в приёмнике, его можно описать как тепловой шум. Этот тип шума характеризуется статистически как гауссовский шумовой процесс. Как следствие, результирующую математическую модель обычно называют каналом с аддитивным гауссовским шумом. Поскольку эта модель применима к широкому классу физических каналов связи и имеет простую математическую интерпретацию, она является преобладающей моделью канала при анализе и синтезе систем связи. Затухание каналов легко включается в модель. Если при прохождении через канал сигнал подвергается ослаблению, то принимаемый сигнал

(3.1)

где α- коэффициент затухания линейного канального фильтра.

Линейный фильтровой канал. В некоторых физических каналах таких, как проводные телефонные каналы, фильтры используются для того, чтобы гарантировать, что передаваемые сигналы не превышают точно установленные ограничения на ширину полосы и, таким образом, не интерферируют друг с другом. Такие каналы обычно характеризуются математически как линейные фильтровые каналы с аддитивным шумом, что иллюстрируется на рисунке 3.2. Следовательно, если на вход канала поступает сигнал s(f), на выходе канала имеем сигнал

(3.2)

где c(f) - импульсная характеристика линейного фильтра, а * обозначает свертку.

Рисунок 3.2 - Линейный фильтровой канал с аддитивным шумом

Линейный фильтровой канал с переменными параметрами. Физические каналы, такие как подводные акустические каналы и ионосферные радиоканалы, которые возникают в условиях меняющегося во времени многопутевого распространения передаваемого сигнала, могут быть описаны математически как линейные фильтры с переменными параметрами. Такие линейные фильтры характеризуются меняющимися во времени импульсной характеристикой канала c(τ,t), где с(τ,t) – отклик канала в момент времени t на 8-импульс, поданный к входу в момент t= τ.

Рисунок 3.3- Линейный фильтровой канал с переменными параметрами и аддитивным шумом

Таким образом, τ представляет «ретроспективную» переменную. Линейный фильтровой канал с переменными параметрами и аддитивным шумом иллюстрируется на рисунке 3.3.

Для входного сигнала s(t) выходной сигнал канала

(3.3)

Хорошей моделью для многопутевого распространения волн через физические каналы типа ионосферы (на частотах ниже 30 МГц) и каналы подвижной сотовой радиосвязи является частный случай (3.3), когда переменная во времени импульсная характеристика канала имеет вид

(3.4)

где {a_k(t)} определяет возможные меняющиеся во времени коэффициенты затухания для L путей распространения, {(τ_k.)} - соответствующие им времена задержки. Если (3.4) подставить в (3.3), то принимаемый сигнал

(3.5)

Следовательно, полученный сигнал состоит из L компонентов распространения, где каждый компонент умножается на a_k(t) и запаздывает на. τ_k.

Три математические модели, описанные выше, адекватно характеризуют большинство физических каналов, с которыми сталкиваются на практике. Эти три модели канала используются в книге для анализа и синтеза систем связи.

Непрерывный канал

Каналы, при поступлении на вход которых непрерывного сигнала на его выходе сигнал тоже будет непрерывным, называют непрерывными. Они всегда входят в состав дискретного канала. Непрерывными каналами являются, например, стандартные телефонные каналы связи (каналы тональной частоты - ТЧ) с полосой пропускания 0,3…3,4 кГц, стандартные широкополосные каналы с полосой пропускания 60…108 кГц, физические цепи и др. Модель канала может быть представлена в виде линейного четырехполюсника (рисунок 3.4)

Рисунок 3.4 - Модель линейного непрерывного канала

Дискретный канал

С целью согласования кодера и декодера канала с непрерывным каналом связи используются устройства преобразования сигналов (УПС), включаемые на передаче и приеме. В частном случае - это модулятор и демодулятор. Совместно с каналом связи УПС образуют дискретный канал (ДК), т.е. канал, предназначенный для передачи только дискретных сигналов.

Дискретный канал характеризуется скоростью передачи информации, измеряемой в битах в секунду (бит/с). Другой характеристикой дискретного канала является скорость модуляции, измеряемая в бодах. Она определяется числом элементов, передаваемых в секунду.

Двоичный симметричный канал. Двоичный симметричный канал (binary symmetric channel - BSC) является частным случаем дискретного канала без памяти, входной и выходной алфавиты которого состоят из двоичных элементов (0 и I). Условные вероятности имеют симметричный вид.

(3.6)

Уравнение (3.6) выражает так называемые вероятности перехода.

Марковские модели ДК. Состояния каналов можно различать по вероятности ошибки в каждом из состояний. Изменения вероятности ошибки можно, в свою очередь, связать с физическими причинами – появлением перерывов, импульсных помех, замираний и т.д. Последовательность состояний является простой цепью Маркова. Простой цепью Маркова называется случайная последовательность состояний, когда вероятность того или иного состояния в i-тый момент времени полностью определяется состоянием c_i-1 в (i-1)-й момент. Эквивалентная схема такого канала представлена на рисунке 3.5.

Рисунок 3.5 - Эквивалентная схема дискретного симметричного канала при описании его моделью на основе цепей Маркова

Модель Гильберта. Простейшей моделью, основанной на применении математического аппарата марковских цепей, является модель источника ошибок, предложенная Гильбертом. Согласно этой модели, канал может находиться в двух состояниях- хорошем (состояние 1) и плохом (состояние 2). Первое состояние характеризуется отсутствием ошибок. Во втором состоянии ошибки появляются с вероятностью р_ош .

Помехи в каналах связи

В реальном канале сигнал при передаче искажается, и сообщение воспроизводится с некоторой ошибкой. Причиной таких ошибок являются искажения, вносимые самим каналом, и помехи, воздействующие на сигнал. Следует четко отделить искажения от помех, имеющих случайный характер. Помехи заранее не известны и поэтому не могут быть полностью устранены.

Под помехой понимается любое воздействие, накладывающееся на полезный сигнал и затрудняющий его прием. Помехи разнообразны по своему происхождению: грозы, помехи электротранспорта, электрических моторов, систем зажигания двигателей и т.д.

Практически в любом диапазоне частот имеют место внутренние шумы аппаратуры, обусловленные хаотическим движением носителей заряда в усилительных приборах, так называемый тепловой шум.

Классификация помех. Гармонические помехи - представляют собой узкополосный модулированный сигнал. Причинами возникновения таких помех являются снижение переходного затухания между цепями кабеля, влияние радиостанций. Импульсные помехи - это помехи, сосредоточенные по времени. Они представляют собой случайную последовательность импульсов, имеющих случайные интервалы времени, причем, вызванные ими переходные процессы не перекрываются по времени.

С физической точки зрения случайные помехи порождаются различного рода флуктуациями. Флуктуациями в физике называют случайные отклонения тех или иных физических величин от их средних значений. Так, источником шума в электрических цепях постоянного тока могут являться флуктуации тока около среднего значения, обусловленные дискретной природой носителей заряда (ионов и электронов). Это явление носит название дробового эффекта.

Метод Стаффинга

Более широко используется на практике группообразование, реализующее метод цифрового выравнивания (метод стаффинга). Цифровым выравниванием называется метод доведения изменяющейся скорости объединенного цифрового сигнала до некоторой опорной скорости, которой в данном случае является скорость системы высшего порядка в пересчете на один цифровой канал низшего порядка. Выравнивание осуществляется путем введения в сигнал дополнительных символов (выравнивающих символов), либо удаление информационных символов, значения которых передаются в приемное устройство с помощью дополнительного служебного канала. Для того чтобы в приемном устройстве можно было восстановить исходный цифровой сигнал в первоначальном виде, информация о любой операции, проведенной в передатчике, посылается в приемник, в котором осуществляется обратная операция. Различают три вида цифрового выравнивания: положительное, отрицательное и двустороннее.

При положительном выравнивании предполагается, что сумма максимальных скоростей входных сигналов, подлежащих объединению, меньше скорости составного сигнала. Входные сигналы проходят через устройства синхронизации, которые определяют, насколько надо увеличить их скорость, чтобы они были синхронны с сигналом системы высшего порядка. Входной сигнал дополняется определенным числом сигналов. Информация о дополнительных символах передается на приемную станцию, где эти символы будут опущены как излишние. В цикле системы высшего порядка есть определенное место, в котором может находиться выравнивающий импульс, поэтому на приемную сторону линии достаточно лишь послать информацию о том, что имело место цифровое выравнивание.

При отрицательном цифровом выравнивании предполагается, что частота записи в устройстве памяти передающего оборудования f1 больше частоты считывания f2. В связи с этим память будет наполняться до ее переполнения, однако если это произойдет, пороговая схема контроля задержит запись на время, равное длительности одного символа. Информация о том, что произошло удаление символа, а также его значение передается по служебному каналу на приемную сторону. Приемное устройство выделяет эту информацию, задерживает считывание из приемного устройства памяти на время, равное длительности одного сигнала (который был удален в передатчике).

На практике большой интерес представляет двухстороннее (положительно - отрицательное) цифровое выравнивание. Здесь, если скорость входного сигнала меньше номинальной, то этот сигнал передается с положительным выравниванием, если больше номинальной с отрицательным выравниванием. Преимуществом такого выравнивания является его универсальность, т.е. возможность синхронной и асинхронной работы при одной и той же структуре цикла.

В этой аппаратуре используется последовательное объединение (разъединение) на циклической основе единичных элементов каналов (девять синхронно асинхронных цифровых каналов со скоростью 4,8 Кбит/с, один цифровой канал со скоростью 2,4 Кбит/с, один “прозрачный” телеграфный канал со скоростью до 100 Бод, служебный телеграфный канал со скоростью до 50 Бод и синхронный контрольный канал со скоростью до 40 бит/с) в групповой сигнал 48 Кбит/с. С целью исключения сбоев при асинхронном вводе сигналов цифровых каналов применен метод двухстороннего согласования. При положительном согласовании скоростей (fс>f3) образуются зазоры в цифровой передаче сигналов (вставки), в течение которых информационные элементы по данному каналу не передаются. При отрицательном согласовании скоростей (fс<f3) образуются дополнительные интервалы, в течение которых могут передаваться информационные элементы от других источников. Для опознания в приемнике вставок и наличия информационных элементов в дополнительных интервалах вводятся специальные отдельные каналы в групповом сигнале. Компенсация расхождения скоростей источника и аппаратуры производится автоматически путем чередования операций положительного и отрицательного согласования. При положительном согласовании передается девятиразрядная команда сигнализации вставки вида 111111111, при отрицательном согласовании 000000000. Передача индивидуальных команд, соответствующих отсутствию необходимости согласования скоростей, не предусмотрена.

Лекция №4.

Цель лекции: изучение методов приема бинарных сигналов

Содержание:

1. Соотношение между скоростью передачи и шириной полосы канала, формула Шеннона.

2. Обеспечение высокой удельной скорости передачи дискретных сигналов. Критерий качества, отношение сигнал - шум.

3. Демодуляция/обнаружение цифровых сигналов.

4. Обнаружение двоичных сигналов в гауссовом шуме.

5. Согласованный фильтр.

6. Оценка вероятности ошибки.

1. Соотношение между скоростью передачи и шириной полосы канала, формула Шеннона.

Для гауссовского канала с ограниченной мощностью сигнала P_X пропускная способность канала может быть рассчитана по формуле Шеннона:

,

где P_n - мощность помехи.

Пропускная способность определяется отношением мощностей сигнала и помех, а также шириной спектра полезного сигнала. Ограничение пропускной способности непрерывного канала связано с тем, что любые используемые для связи сигналы имеют конечную мощность.

Задача детектора — максимально безошибочно распознать принятый сигнал, насколь­ко это возможно при данном ухудшении качества сигнала в процессе передачи.

Демодуляция и обнаружение

В течение данного интервала передачи сигнала T, бинарная узкополосная система передает один из двух возможных сигналов, обозначаемых как g₁(t) и g₂(t). Подобным образом бинарная полосовая система передает один из двух возможных сигналов, обозначаемых как s₁(t) и s₂(t). Поскольку общая трактовка демодуляции и обнаружения, по сути, совпадает для узкополосных и полосовых систем, будем использовать запись s_i(t) для обозначения передаваемого сигнала, вне зависимости от того, является система узкополосной или полосовой. Итак, для любого канала двоичный сигнал, переданный в течение интервала (0, Т), представляется следующим образом.

(1)

Принятый сигнал г(t) искажается вследствие воздействия шума n(t) и, возможно, неидеальной импульсной характеристики канала h_c(t) и описывается следующей формулой (2)

(2)

В нашем случае n(t) предполагается процессом AWGN с нулевым средним, а знак "*" обозначает операцию свертки, Для бинарной передачи по идеальному, свободному от искажений каналу, где свертка с функцией h_c(t) не ухудшает качество сигнала (поскольку для идеального случая h_c(t) - импульсная функция), вид r(t) можно упростить.

i=1,2 0≤t≤T (3)

Типичные функции демодуляции и обнаружения цифрового приемника показаны на рисунке. 1. Некоторые авторы используют термины "демодуляция" и "обнаружение" как синонимы. В данном конспекте они имеют различные значения. Демодуляцию (demodulation) мы определим как восстановление сигнала (в неискаженный узкополосный импульс), а обнаружение (detection) - как процесс принятия решения относительно цифрового значения этого сигнала. При отсутствии кодов коррекции ошибок на выход детектора поступают аппроксимации символов (или битов) сообщений m_i^’ (также называемые жестким решением). При использовании кодов коррекции ошибок на выход детектора поступают аппроксимации канальных символов (или кодированных битов) u'_i , имеющие вид жесткого или мягкого решения. Для краткости термин "обнаружение" иногда применяется для обозначения совокупности всех этапов обработки сигнала, выполняемых в приемнике, вплоть до этапа принятия решения.

Рис. 1. Два основных этапа в процессе демодуляции/детектирования цифровых сигналов.

В блоке демодуляции и дискретизации (рисунок 1) изображен принимающий фильтр (по сути, демодулятор), выполняющий восстановление сигнала » качестве подготовки к следующему необходимому этапу - обнаружению. Фильтрация в передатчике и канале обычно приводит к искажению принятой последовательности импульсов, вызванному межсимвольной интерференцией, а значит, эти импульсы не совсем готовы к дискретизации и обнаружению. Задачей принимающего фильтра является восстановление узкополосного импульса с максимально возможным отношением сигнал/шум (signal-to-noise ratio - SNR) и без межсимвольной интерференции. Оптимальный принимающий фильтр, выполняющий такую задачу, называется согласованным (matched), или коррелятором (correlator).. За принимающим фильтром может находиться выравнивающий фильтр (equalizing filter), или эквалайзер (equalizer); он необходим только в тех системах, в которых сигнал может искажаться вследствие межсимвольной интерференции, введенной каналом. Принимающий и выравнивающий фильтры показаны как два отдельных блока, что подчеркивает различие их функций. Впрочем, в большинстве случаев при использовании эквалайзера для выполнения обеих функций (а, следовательно, и для компенсации искажения, внесенного передатчиком и каналом) может разрабатываться единый фильтр. Такой составной фильтр иногда называется просто выравнивающим или принимающим и выравнивающим.

На рисунке 1 выделены два этапа процесса демодуляции/обнаружения. Этап 1, преобразование сигнала в выборку, выполняется демодулятором и следующим за ним устройством дискретизации, в конце каждого интервала передачи символа Т, на выход устройства дискретизации детекторную точку, поступает выборка z(T), иногда называемая тестовой статистикой. Значение напряжения выборки z(T) прямо пропорционально энергии принятого символа и обратно пропорционально шуму. На этапе 2 принимается решение относительно цифрового значения выборки (выполняется обнаружение). Предполагается, что шум является случайным гауссовым процессом, а принимающий фильтр демодулятора — линейным. Линейная операция со случайным гауссовым процессом дает другой случайный гауссов процесс. Следовательно, на выходе фильтра шум также является гауссовым. Значит, выход этапа 1 можно описать выражением

(4)

где — желаемый компонент сигнала, а — шум. Для упрощения записи выражение (4) будем иногда представлять в виде z = a_i+n₀. Шумовой компонент n₀ - это случайная гауссова переменная с нулевым средним, поэтому z(T) — случайная гауссова переменная со средним a₁ или a₂, в зависимости от того, передавался двоичный нуль или двоичная единица. Плотность вероятности случайного гауссового шума n₀ можно выразить как

(5)

где - дисперсия шума.

Используя выражения (4) и (5), можно выразить плотности условных вероятностей и .

(6)

Эти плотности условных вероятностей показаны на рис. 2. Плотность p(z|s_i), изобра­женная справа, называется правдоподобием s₁ и показывает плотность вероятности слу­чайной переменной z(T) при условии передачи символа Подобным образом функция p(z|s₂) (слева) является правдоподобием s₂ и показывает плотность вероятности z(T) при условии передачи символа s₂. Ось абсцисс, z(T), представляет полный диапазон возмож­ных значений выборки, взятой в течение этапа 1, изображенного на рис. 1.

Рис. 2. Плотности условных вероятностей: p(z|s₁) и р(z|s₂)

Отношение сигнал – шум.

В аналоговой связи часто используется понятие отношени­я средней мощности сигнала к средней мощности шума (S/N или SNR). В цифровой связи в качестве критерия качества чаще используется нормированная версия SNR, E_b/N₀. Е_ь — это энергия бита, и ее можно описать как мощность сигнала S, умноженную на время переда­чи бита Т_b. N₀ — это спектральная плотность мощности шума, и ее можно выразить как мощность шума N, деленную на ширину полосы W. Поскольку время передачи бита и ско­рость передачи битов R_b взаимно обратны, Т_b можно заменить на 1/R_b:

Еще одним параметром, часто используемым в цифровой связи, является скорость передачи данных в битах в секунду. В целях упрощения выражений, для представления скорости передачи битов вместо записи R_b будем писать просто R. С учетом сказанного перепишем, выражение так, чтобы было явно видно, что отношение E/N₀ представляет собой отношение S/N, нормированное на ширину полосы и скорость передачи битов:

Критерий максимального правдоподобия приема сигналов

Критерий принятия решения, используемый в этапе 2 (рис. 1), описывался форму­лой следующим образом:

Популярный критерий выбора порога  для принятия двоичного решения в выраже­нии основан на минимизации вероятности ошибки. Вычисление этого минимального значения ошибки =₀ начинается с записи связи отношения плотностей условных вероят­ностей и отношения априорных вероятностей появления сигнала. Поскольку плотность условной вероятности также называется функцией правдоподобия s_i формулировка

(7)

есть критерием отношения функций правдоподобия. В этом неравен­стве P(s₁) и P(s₂) являются априорными вероятностями передачи сигналов s₁(t) и s₂(t), а H₁ и Н₂ — две возможные гипотезы. Правило минимизации вероятности ошибки гласит, что если отношение функций правдоподобия больше отноше­ния априорных вероятностей, то следует выбирать гипотезу H₁.

При P(s₁) = P(s₂) и симметричных функциях правдо­подобия (i=1,2) подстановка формул (формулы для плотностей) (6) в формулу (7) дает

(8)

где — сигнальный компонент z(T) при передаче s₁(t), а а₂ — сигнальный компонент z(T) при передаче s₂(t). Порог ₀, представленный выражением (а₁ + а₂)/2 — это опти­мальный порог для минимизации вероятности принятия неверного решения в этом важном частном случае. Описанный подход называется критерием минимальной ошиб­ки. Для равновероятных сигналов оптимальный порог у₀, как показано на рис. 2, проходит через пересечение функций правдоподобия.

Вероятность ошибки

В процессе принятия бинарного решения, показанном на рис. 2, существует две возможности возникновения ошибки. Ошибка е появится при передаче s₁(t), если вследствие шума канала уровень переданного сигнала z(t) упадет ниже ₀. Вероятность этого равна следующему:

(9)

Эта возможность показана заштрихованной областью слева от ₀ (рис. 2). Подобным образом ошибка появляется при передаче s₂(t), если вследствие шума канала уровень переданного сигнала z(t) поднимется выше ₀. Вероятность этого равна следующему:

(10)

Вероятность ошибки равна сумме вероятностей всех возможностей ее появления. Для бинарного случая вероятность возникновения ошибочного бита можно выразить сле­дующим образом:

(11)

Объединяя формулы (9)—(11), получаем

или, что равносильно,

Иными словами, при передаче сигнала s₁(t) ошибка происходит при выборе гипотезы H₂; или при передаче сигнала s₂(t) ошибка происходит при выборе гипотезы Н₁. Для равных априорных вероятностей (т.е. P(s₁) = P(s₂) = 1/2) имеем следующее:

(12)

Используя симметричность плотностей вероятности, получаем следующее:

(13)

Вероятность появления ошибочного бита, Р_B, численно равна площади под “хвостом” любой функции правдоподобия, или , “заползающим” на “неправильную” сторону порога. Таким образом, для вычисления Р_B мы можем проинтегрировать от - до ₀ или — от  до ₀:

Здесь — оптимальный порог из уравнения (8). Заменяя функцию правдоподобия p(z|s₂) ее гауссовым эквивалентом из формулы (6), имеем

dz,

где ₀ — дисперсия шума вне коррелятора.

Сделаем замену u = (z- а₂)/₀. Тогда ₀du = dz и

.

Q(x) называется гауссовым интегралом ошибок и часто используется при описании ве­роятности с гауссовой плотностью распределения. Определяется эта функция следующим образом:

Согласованный фильтр

Согласованный фильтр (matched filter) - это линейное устройство, спроектированное, чтобы давать на выходе максимально возможное для данного передаваемого сигнала отношение сигнал/шум. Предположим, что на вход линейного, инвариантного относительно времени (принимающего) фильтра, за которым следует устройство дискретизации (рисунок 4.2), подастся известный сигнал s(t) плюс шум AWGN n(t). В момент времени t=Т сигнал на выходе устройства дискретизации z(T) состоит из компонента сигнала а, и компонента шума n₀. Дисперсия шума на выходе (средняя мощность шума) запи­сывается как ₀². Отношение мгновенной мощности шума к средней мощности шума, (S/N)_T, в момент t = Т вне устройства дискретизации на этапе 1 равно следующему:

Нам нужно найти передаточную функцию фильтра H₀(f) с максимальным отношением (S/N)_T.

Можно показать, что импульсная характеристика фильтра, обеспечивающего максимальное отноше­ние сигнал/шум на выходе, является зеркальным отображением сигнала сообщения s(t), запаздывающим на время передачи символа Т. Отметим, что задержка в Т секунд делает уравнение (3.56) причинным, т.е. запаздывание на Т секунд делает h(t) функцией положительного времени в промежутке 0 < t < Т. Без задержки в Т секунд отклик s(-t) нереализуем, поскольку в этом случае он является функцией отрицательного времени.

Причем, максимальный выход (S/N)_T зависит от энергии входного сигнала и спек­тральной плотности мощности шума, но не от конкретной формы сигнала.

5. Лекция №5.

Цель лекции: изучение передачи цифровых сигналов по каналам с ограниченной полосой пропускания.

Содержание:

1. Особенности передачи цифровых сигналов по каналам с ограниченной полосой пропускания.

2. Межсимвольная интерференция.

3. Теорема Найквиста.

4. Импульс Найквиста, методы парциальных отсчетов (методы парциального кодирования).

5. Принципы использования парциально кодированных импульсов.

6. Выравнивание.

7. Типы эквалайзеров, эквалайзеры с решающей обратной связью.

1. Особенности передачи цифровых сигналов по каналам с ограниченной полосой пропускания.

Системные компромиссы — это неотъемлемая часть всех разработок цифровых систем связи. Разработчик должен стремиться к 1) увеличению скорости передачи бит R до максимально возможной; 2) минимизации вероятности появления битовой ошибки Р_B; 3) минимизации потребляемой мощности, или, что то же самое, минимизации требуемого отношения энергии одного бита к спектральной плотности мощности шу­ма E_b/N₀, 4) минимизации ширины полосы пропускания W; 5) максимизации эффек­тивности использования системы, т.е. к обеспечению надежного обслуживания для максимального числа пользователей с минимальными задержками и максимальной устойчивостью к возникновению конфликтов; и 6) минимизации конструктивной сложности системы, вычислительной нагрузки и стоимости системы. Конечно, разра­ботчик системы может попытаться удовлетворить всем требованиям одновременно. Однако очевидно, что требования 1 и 2 противоречат требованиям 3 и 4; они преду­сматривают одновременное увеличение скорости R и минимизацию Р_b, E_b/N₀, W. Су­ществует несколько сдерживающих факторов и теоретических ограничений, которые неизбежно влекут за собой компромиссы в любых системных требованиях.

Минимальная теоретически требуемая ширина полосы частот по Найквисту

Теорема о пропускной способности Шеннона-Хартли (и предел Шеннона) Государственное регулирование (например, распределение частот)

Технологические ограничения (например, современные комплектующие)

Другие системные требования (например, орбиты спутников)

Некоторые реализуемые компромиссы между кодированием и модуляцией можно лучше показать через изменение положения рабочей точки на одной из двух плоско­стей — характеристике вероятности появления ошибки и характеристике эффектив­ности использования полосы частот; обе описываются в следующих разделах.