Давление в движущихся жидкостях и газах.

Как же распределиться давление в движущейся жидкости?

Вначале обратимся к опытным фактам. Возьмем трубку переменного сечения с небольшими отверстиями в стенке, в которые вставлены стеклянные открытые сверху измерительные трубки (рис. 2.1.). При стационарном течении жидкость в каждой измерительной трубке поднимается до определенной высоты (высоты необходимо отсчитывать от какого-либо горизонтального уровня). По высоте столба жидкости в измерительных трубках можно судить о ее давлении на стенки горизонтальной трубки. Опыт показывает, что в широких местах трубки давление больше, чем в у узких. Но чем больше сечение трубки, тем меньше скорость течения жидкости. Следовательно, можно сделать вывод:

при стационарном течении жидкости давление больше в тех местах, где меньше скорость течения, и, наоборот, меньше в тех местах, где скорость течения больше.

Эта зависимость была установлена Д. Бернулли. Факт уменьшения давления с увеличением скорости жидкости на первый взгляд кажется парадоксальным. Казалось бы, что при переходе из широкой части трубки в узкую жидкость должна сжиматься, поэтому давление внутри нее и на стенки трубки должно возрастать. В действительности же все происходит наоборот. Сначала попытаемся объяснить это явление качественно на основе второго закона Ньютона и условия неразрывности стационарного потока жидкости (где скорости жидкости в различных частях трубки постоянны), считая жидкость идеальной.

Выделим элемент жидкости, который движется вдоль оси трубки. При переходе из широкой части трубки в узкую скорость течения увеличивается, поэтому ускорение выделенного элемента жидкости направлено по течению, а при переходе из узкой части в широкую – против течения. Согласно второму закону Ньютона ускорение вызывается силой и совпадает с ней по направлению. Такой силой может быть лишь равнодействующая сил давления окружающей жидкости на поверхность выделенного объема. Значит, давление на элемент жидкости при переходе его из широкой части трубки в узкую должно быть больше со стороны жидкости в широкой части трубки, чем со стороны узкой (рис. 2.1.). При переходе же элемента из узкой части трубки в широкую ускорение направлено против течения. В эту же сторону должна быть направлена равнодействующая сил давления, что опять-таки возможно, если давление жидкости со стороны широкой части трубки больше, чем со стороны узкой.

Чем быстрее движется жидкость, тем меньше поперечное давление внутри нее.

Уравнение Бернулли.

Зависимость давления идеальной жидкости от скорости ее стационарного течения и перепада высоты была установлена в математической форме Д. Бернулли в 1738 году.

Наиболее просто уравнение Бернулли можно вывести, если применить закон сохранения механической энергии к потоку жидкости. Для движения идеальной жидкости закон сохранения применим, т.к. в идеальной жидкости нет сил трения.

Пусть труба переменного сечения расположена наклонно к горизонту. Выделим некоторый объем жидкости между сечением АВ и сечением CD в узкой части (рис. 2.2.).

Пусть площадь поперечного сечения, давление и модуль скорости потока в широкой части соответственно равны S₁, p₁, v₁, а в узкой части – S₂, p₂, v₂.

Рис. 2.2.

Если жидкость течет слева направо, то под действием сил давления F₁ и F₂ и силы тяжести выделенный объем жидкости за малое время t сместится вправо и займет часть трубы, ограниченную сечениями А₁В₁и C₁D₁. Силы давления F₁ и F₂ совершат работу

A = A₁ + A₂ = F₁l₁– F₂l₂ = p₁S₁v₁t – p₂S₂v₂t.

Существенно, что при стационарном течении жидкости энергия объема жидкости, заключенного между сечениями S₁и S₂ (рис 2.2.), остается неизменной. Все происходит так, как если бы жидкость, занимавшая объем АВВ₁А₁, переместилась бы и заняла объем СDD₁C₁. Поэтому достаточно учесть лишь изменение энергии элемента жидкости, переходящей из области АВВ₁А₁ в область СDD₁C₁. Работа внешних сил давления согласно закону сохранения энергии равна изменению энергии этого элемента. Его объем V не изменяется вследствие несжимаемости жидкости.

Изменение энергии этого элемента жидкости равно:

E = E_k+ E_p= V( ) + g(S₂l₂h₂ – S₁l₁h₁).