Лабораторная работа №2 Системы счисления

1. Цель работы:

   1. закрепить навыки по переводу чисел из одной системы в другую;

   2. закрепить навыки по выполнению арифметических операций двоичными числами.

2. Средства обучения:

   1. методические рекомендации, курс лекций;

   2. П.К.IBM PC;

   3. Программное обеспечение (стандартная программа «Калькулятор»).

3. Теоретические сведения Системы счисления

Совокупность цифр (символов, значков) с их названиями, которые позволяют выразить письменно или устно любое число, вместе с правилами выполнения арифметических действий над числами называется системой счисления. Различают непозиционные и позиционные системы счисления.

Непозиционной называется такая система счисления, в которой величина цифры (символ) не зависит от позиции (места), занимаемой ею в записи числа. Примером непозиционной системы счисления является римская система, которую использовали древние римляне, египтяне и другие народы. Алфавит этой системы состоит из специальных символов, обозначающих следующие величины:

I=1; V=5; X=10; L=50; C=100; D=500; M=1000. Если рассмотреть, например, число XXX, изображающее 30, то видно, что оно состоит из трех цифр X, каждая из которых независимо от места в числе равна 10. Для изображения чисел, отличных от 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 приходится комбинировать определенное количество римских цифр, помня при этом, что меньшая по величине цифра, стоящая справа от большей, складывается с большей (например, CXXX1II=133), а стоящая слева — вычитается из большей (например, IX=10-1=9).

Позиционной называется такая система счисления, в которой величина (вес) цифры зависит от позиции (места), которую занимает цифра в записи числа. Примером позиционной системы является десятичная система счисления.

Рассмотрим, например, десятичное число 111,11. В записи этого числа многократно использована одна и та же цифра — 1, но истинная величина каждой цифры зависит от позиции, занимаемой ею в записи числа. Только одна цифра 1, занимающая самый младший разряд целой части числа, равна единице. Цифра 1, занимающая следующий разряд (если двигаться влево), изображает уже один десяток, далее 1 изображает уже сотню. Если же рассматривать последовательно единицы, стоящие вправо от запятой, то первая изображает десятую долю единицы, следующая цифра 1 — сотую долю единицы.

В вычислительной технике кроме десятичной системы используются в основном двоичная, восьмеричная, а также шестнадцатеричная системы счисления. Все они являются позиционными.

Двоичная система счисления

В этой системе используются только две цифры: 0 и 1. в целой части двоичного числа в самом младшем разряде записывается единица, в следующем старшем разряде единица изображает «двойку» ( ), еще далее влево — «четверку» ( ), затем «восьмерку» ( ) и т.д. Чтобы записать число в двоичной системе нужно представить его в виде суммы последовательных степеней числа 2.

Например,

Вместо того, чтобы записывать сумму последовательных степеней двух, умноженных на 0 или 1, записывают подряд только те цифры, на которые умножаются эти степени числа 2. поэтому это равенство можно записывать так:

Двоичная система используется в ЭВМ, так как именно в двоичной форме внутри машины запоминается, перемещается из одного устройства в другое и перерабатывается вся информация: исходные данные и команды программы. Обусловлено это в основном следующим. Чтобы представить в машине цифру, нужно иметь такое устройство (электронную схему), которое имело бы ровно такое количество различимых устойчивых состояний равновесия, которое равно основанию системы. Так, чтобы иметь возможность зафиксировать любую десятичную цифру, такое устройство должно иметь 10 состояний. Реализовать технически такое устройство очень сложно. Для фиксирования восьмеричных цифр устройство должно обладать восемью устойчивыми состояниями, а в случае двоичных цифр — только двумя.