6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка определяется выражением:
(3)
Если уравнение (3) разрешимо относительно , то уравнение (3) принимает вид:
(4)
Общим
решением уравнения (3) или (4) является
множество функций вида
,
где
–
произвольная постоянная. Придавая
различные значения произвольной
постоянной
,
можно получить частные решения. На
плоскости
общее решение представляет собой
семейство интегральных кривых,
соответствующих каждому частному
решению.
Условия
вида
при
или
называются начальными условиями.
Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения (3) и (4), удовлетворяющая начальному условию, называется задачей Коши.
6.3. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными
Определение.
Уравнение вида
или
называется уравнением с разделенными
переменными.
Это самый простой тип дифференциальных уравнений. Интегрируя это уравнение, находят общее решение.
Пример
1:
– этот
результат называется общим
интегралом.
– этот
результат называется общим
решением.
Определение. Дифференциальное уравнение, в котором путем преобразований переменные могут быть разделены, называется уравнением с разделяющимися переменными.
Уравнение этого типа можно представить в виде
.
Для решения такого уравнения нужно проделать следующее:
.
Тогда получаем
– уравнение
с разделяющимися переменными.
Его можно интегрировать.
Пример: Найти общее и частное решение дифференциального уравнения
Решение:
–общее
решение
–частное
решение
Глава 2. Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей – это математическая наука, которая изучает свойства массовых случайных событий или явлений, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий.
Предметом теории вероятностей является математический анализ случайных явлений, которые характеризуются тем, что наблюдение над ними не всегда приводит к одним и тем же исходам и что они обладают некоторой регулярностью.
§ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей.
Теория вероятностей, как и всякая наука, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется.
Испытанием будем называть эксперимент, опыт, наблюдение.
Результат испытания назовем событием. События будем обозначать большими буквами латинского алфавита.
События, которые в результате могут происходить или не происходить называются случайными.
Определение. Если при воспроизведении определенного комплекса условий событие обязательно наступит, то оно называется достоверным, если событие никогда не наступит, то оно называется невозможным.
Например, невозможным является событие, состоящее в извлечении наугад скальпеля из коробки, содержащей только пинцеты.
Определение. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появления другого в одном и том же испытании.
Например, произведено испытание - брошена монета. В результате произошло событие - выпал герб. Появление герба исключает появление решки. События «выпал герб» и «выпала решка» - несовместные. Произведено испытание - психолог предъявил обследуемому вопрос. По условиям испытания обследуемый может дать только один из двух ответов: «да» или «нет». Отсюда, результатом испытания может быть только одно из двух несовместных событий.
Определение. Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Например, если первое событие состоит в выпадение цифры 2 при однократном бросании игрального кубика, а второе событие – в выпадении четного числа очков, то эти два события – совместные, так как цифра 2 является четной.
Определение. События называются независимыми, если вероятность появления одного события не влияет на вероятность появления другого. В противном случае события называются зависимыми.
Определение.
Противоположным
событию
называется событие
,
состоящее в том, что событие
не произошло.
Пример.
Бросаем один раз игральную кость. Событие
- выпадение четного
числа очков, тогда событие
-
выпадение нечетного числа очков.