5.2. Основные свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций, интегрируемых на отрезке , равен алгебраической сумме определенных интегралов этих функций на данном отрезке:

.

2. определенный интеграл от произведения постоянного множителя на интегрируемую на отрезке функцию равен произведению этого множителя на определенный интеграл от этой функции:

.

3. При перемене местами пределов интегрирования величина определенного интеграла изменяется на противоположную:

.

4. Если отрезок интегрирования разбит точкой на два отрезка, то определенный интеграл от функции на отрезке равен сумме определенных интегралов от этой функции на каждом из этих отрезков:

.

5.3. Формула Ньютона – Лейбница

Теорема. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятой при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Данная формула называется формулой Ньютона – Лейбница и дает практически удобный метод вычисления определенного интеграла в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции.

Основными методами интегрирования определенного интеграла являются те же, что и для неопределенного.

Пример. Вычислить определенный интеграл

Решение.

5.4. Приложения определенного интеграла.

1. Вычисление площадей плоских фигур.

а) если непрерывная кривая задана уравнением , где

б) если непрерывная кривая задана уравнением , где

в) если площадь ограничена двумя непрерывными кривыми и , ( ), прямыми и

Пример.

2. Объем тела вращения.

а) вокруг оси :

б) вокруг оси :

Пример.

5.5. Биологические приложения определенного интеграла

1. Численность популяции.

Число особей в популяции (численность популяции) меняется со временем. Если условия су­ществования популяции благоприятны, то рождаемость превышает смертность и общее число особей в популяции растет со временем. Назовем скоростью роста популяции прирост числа особей в едини­цу времени. Обозначим эту скорость . В “старых”, уста­новившихся популяциях, давно обитающих в данной местности, скорость роста мала и медленно стремится к нулю. Но если популяция молода, ее взаимоотношения с другими местными по­пуляциями еще не установились или существуют внешние причины, изменяющие эти взаимоотношения, например сознательное вмеша­тельство человека, то может значительно колебаться, умень­шаясь или увеличиваясь.

Если известна скорость роста популяции , то мы можем найти прирост численности популяции за промежуток времени от до . В самом деле, из определения следует, что эта функ­ция является производной от численности популяции в момент , и, следовательно, численность популяции является первообраз­ной для . Поэтому

. (1)

Известно, что в условиях неограниченных ресурсов питания скорость роста многих популяций экспоненциальна, т. е. . Популяция в этом случае как бы “не стареет”. Такие условия можно создать, например, для микроорганизмов, пересаживая время от времени развивающуюся культуру в новые емкости с питательной средой. Применяя формулу (1), в этом случае получим:

По данной формуле подсчитывают, в частности, численность культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин.