Введение.

Цель математической подготовки студентов-медиков – это ознакомление их с основными понятиями и методами современного математического аппарата, необходимого для решения задач физического, химического, биологического и другого характера, которые будут встречаться в процессе изучения профилирующих дисциплин, а так же в дальнейшей профессиональной деятельности.

Тематика данного учебного пособия соответствует учебной программе «Математика» для студентов медицинского факультета.

Учебное пособие разработано с учетом прикладного характера изложения основных понятий и методов, а также, недостаточно высокого исходного уровня подготовки студентов по математике.

В данном учебном пособии содержится большое количество конкретных примеров физического, химического и медико-биологического содержания, соответствующих профессиональным потребностям будущих специалистов.

Глава 1. Математический анализ

§1. Функции

Изучая различные процессы и явления – физические, химические, биологические и др. – часто приходиться встречаться с величинами, связанными между собой той или иной зависимостью. Например, путь, проходимый свободно падающим в пустоте телом, зависит только от времени, давление в паровом котле зависит только от температуры пара, скорость размножения бактерий зависит от условий окружающей среды, которые также могут быть охарактеризованы некоторыми величинами.

Одним из наиболее важных видов зависимостей между величинами является функциональная зависимость. Она представляет собой одно из самых важных понятий математики.

1.1. Функциональная зависимость

Определение. Функцией называется закон или соответствие, по которому каждому значения переменной ставиться в соответствие единственное значение переменной .

Переменная при этом называется аргументом или независимой переменной, а – функцией или зависимой переменной. Относительно самих величин и говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Аналитически (т. е. с помощью формулы) эту зависимость сокращенно обозначают

,

где символ называется характеристикой функции.

Если каждому значению переменной соответствует одно значение , то функция называется однозначной. Если хотя бы некоторым значениям переменной соответствует несколько значений , то функция называется многозначной.

Определение. Совокупность всех значений независимой переменной , для которых функция определена, называется областью определения или областью существования функции. Обозначается: .

Определение. Областью значений функции называются все допустимые значения переменной . Обозначается: .

Определение. Функция называется возрастающей на интервале , если для любых двух значений и , принадлежащих этому интервалу и удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , и убывающей, если при этих же условиях выполняется неравенство . Иначе, функция называется возрастающей на интервале , если на этом интервале большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей в противном случае.

Определение. Если функция во всей области своего определения только возрастает или только убывает, то она называется монотонной.

Определение. Функция называется четной, если для всех значений , принадлежащих области определения функции, выполняется равенство .

Определение. Функция называется нечетной, если для всех значений , если для всех значений , выполняется равенство .

График четной функции симметричен относительно оси ординат, нечетной – относительно начала координат.

Определение. Функция называется периодической с периодом Т, если для всех значений , принадлежащих области определения функции, выполняется равенство .

Определение. Функция называется ограниченной на отрезке , если существует такое положительное число , что для любых значений , принадлежащих этому отрезку, выполняется неравенство .

Функция вида называется явной (заданной в явном виде), а функция , заданная уравнением , т. е. уравнением, не разрешенным относительно переменной , называется неявной.