5.2 Имитационное моделирование процессов функционирования систем массового обслуживания

5.2.1 Формирование входных воздействий

Рассмотренные ранее аналитические модели СМО применимы только для простейших систем при условии, что в них потоки событий являются простейшими. Исследование СМО, аналитические модели которых не разработаны, осуществляется на имитационных моделях.

Рассмотрим возможности использования концептуальных моделей в форме Q-схем для формального описания процесса функционирования некоторой СМО. Характерная ситуация в работе такой системы — появление заявок на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, то есть стохастический характер процесса их функционирования. В общем случае моменты поступления заявок в систему из внешней среды образуют входящий поток, а моменты окончания обслуживания образуют выходящий поток обслуженных заявок [8,11].

Формализация на базе Q-схем. Формализуя какую-либо реальную систему с помощью Q-схемы, необходимо построить структуру такой системы. В качестве элементов структуры Q-схем будем рассматривать элементы трех типов: И — источники; Н — накопители; К — каналы обслуживания заявок.

Как отмечалось выше, Q-схему можно считать заданной, если определены:

потоки событий (входящие потоки заявок для каждого накопителя и потоки обслуживаний для каждого канала);

структура системы (число фаз, число накопителей и каналов обслуживания в каждой из фаз обслуживания заявок и связи между И, Н и К);

алгоритмы функционирования системы (дисциплины ожидания заявок в накопителях и выбора их на обслуживание в каналы, правила ухода заявок из Н и К).

Рассмотрим возможности формализации входных воздействий, представляемых в Q-схемах в виде источников. Формирование однородных потоков событий заданных многомерным интегральным законом или плотностью распределения вероятностей, т.е.

сводится к машинной имитации к - мерных векторных величин, требующих больших затрат машинных ресурсов. При моделировании систем, формализуемых в виде Q-схем, часто возникают задачи имитации потоков заявок с некоторыми ограничениями, позволяющими упростить как математическое описание, так и программную реализацию генераторов потоков заявок [2] .

Так, для ординарных потоков с ограниченным последействием интервалы между моментами поступления заявок являются независимыми и совместная плотность распределения может быть представлена в виде произведения частных законов распределения где при i>1 являются условными функциями плотности распределения величин y_i при условии, что в момент начала i-го интервала поступит заявка. Относительно начального момента времени t₀ никаких предположений не делается, поэтому функция f₁ (y₁) — безусловная.

Если поток с ограниченным последействием удовлетворяет условию стационарности, т. е. вероятность появления к событий на интервале (t₀, t₀+ ) зависит только от длины интервала , то при i>0 интервалы распределены одинаково, т. е.

Плотность распределения первого интервала f₁(y₁) может быть найдена с использованием соотношения Пальма

(5.41)

где — интенсивность потока событий.

Порядок моделирования моментов появления заявок в стационарном потоке с ограниченным последействием следующий.

Из последовательности случайных чисел, равномерно распределенных на интервале (0, 1), выбирается случайная величина и формируется первый интервал у₁ в соответствии с (5.41) любым из рассмотренных выше способов формирования случайной величины. Момент наступления первого события равен а моменты появления следующих событий определяются выражениями

, (5.42)

где у_к — случайная величина с плотностью f(у).

Пример 1. Пусть при моделировании некоторой системы необходимо сформировать на ЭВМ простейший поток заявок. Распределение интервалов между заявками подчиняется экспоненциальному закону . Используем формулу Пальма для определения распределения первого интервала у

Из этого выражения следует, что т.е. первый интервал распределен так же, как и остальные. Этого и следовало ожидать ввиду отсутствия последействия в простейшем потоке. Формируя на ЭВМ равновероятные случайные числа x_i на интервале (0;1), будем преобразовывать их в соответствии с выражением

Тогда длина интервала между (i-1)-м и i-м событием будет а моменты появления заявок в потоке определяются согласно (5.42). Пример 2. Пусть при моделировании некоторой системы требуется сформировать на ЭВМ поток событий, равномерно распределенных на интервале (а,b.) Функция плотности распределения интервалов между событиями Распределение первого интервала между началом отсчета и первым событием