1.1.3 Принципы моделирования

Практический опыт, накопленный к настоящему времени в области разработки и использования математических моделей позволяет сформулировать основные принципы моделирования, к которым относят следующие [3].

Принцип информационной достаточности. При полном отсутствии информации об исследуемой системе построение ее модели невозможно. При наличии полной информации о системе ее моделирование лишено смысла. Существует некоторый критический уровень априорных сведений о системе (уровень информационной достаточности), при достижении которого может быть построена ее адекватная модель.

Принцип осуществимости. Создаваемая модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования с вероятностью, существенно отличающейся от нуля, и за конечное время. Обычно задают некоторое пороговое значение вероятности достижения цели моделирования, а также приемлемую границу времени достижения этой цели.

Принцип множественности моделей. Данный принцип является ключевым. Речь идет о том, что создаваемая модель должна отражать в первую очередь те свойства реальной системы (или явления), которые влияют на выбранный показатель эффективности. Соответственно при использовании любой конкретной модели исследуются лишь некоторые стороны реальной системы. Для более полного ее исследования необходим ряд моделей, позволяющих с разных сторон и с разной степенью детальности отражать рассматриваемую систему.

Принцип агрегирования. В большинстве случаев сложную систему можно представить состоящей из подсистем, для адекватного описания которых оказываются пригодными некоторые стандартные математические схемы. Принцип агрегирования позволяет, кроме того, достаточно гибко перестраивать модель в зависимости от задач исследования.

Принцип параметризации. В ряде случаев моделируемая система имеет в своем составе некоторые относительно изолированные подсистемы, характеризующиеся определенным параметром, в том числе векторным. Такие подсистемы можно заменять в модели соответствующими числовыми величинами, а не описывать процесс их функционирования. При необходимости зависимость значений этих величин от ситуации может задаваться в виде таблицы, графика или аналитического выражения (формулы). Принцип параметризации позволяет сократить объем и продолжительность моделирования. Однако надо иметь в виду, что параметризация снижает адекватность модели.

1.1.4 Математическая модель

Понятие математической модели не имеет строгого формализованного определения, однако в него вкладывают конкретное содержание, связанное с применением математики. Большинство научных дисциплин по существу являются упорядоченным множеством ММ, построение которых сопровождается обоснованием адекватности отображения ими свойств исследуемых явлений и процессов.

Адекватность ММ является, как правило, большим научным достижением. Она позволяет про­вести детальное исследование изучаемого объекта и дать на­дежный прогноз его поведения в различных условиях. Но за адекватность ММ нередко приходится расплачиваться ее усложнением, что вызывает трудности при ее использовании. В этом случае на помощь математике и приходит современная вычислительная техника, существенно расширившая класс ММ, допускающих исчерпывающий количественный анализ.

Такую общность и универсальность ММ можно объяснить тем, что в математике используют абстрактные основополагающие понятия, немногочисленные, но весьма емкие по содержанию. Это позволяет конкретные факты из самых различных областей знаний рассматривать как проявление этих понятий и отношений между ними. Совокупность таких понятий и отношений, выраженных при помощи системы математических символов и обозначений и отражающих некоторые свойства изучаемого объекта, называют математической моделью этого объекта.

Структура математической модели

В общем случае исследуемую систему количественно можно охарактеризовать векторами x, β, y внешних, внутренних и выходных параметров соответственно.

Например, для электронного усилителя выходными параметрами являются коэффициент усиления, полоса частот пропускаемых сигналов, входное сопротивление, рассеиваемая мощ­ность, внешними — сопротивление и емкость нагрузки, напряжения источников питания, температура окружающей среды, входные сигналы и внутренними — сопротивления резисторов, емкости конденсаторов, характеристики транзисторов.

При создании системы значения выходных параметров или диапазоны их возможного изменения оговаривают в техническом задании на разработку системы, тогда как внешние параметры характеризируют условия его функционирования.

Для простой системы ММ может представлять собой соотношение

, (1.1)

где - векторная функция некоторого аргумента. Модель в виде (1.1) позволяет легко вычислять выходные параметры по задаваемым значениям внешних и внутренних параметров, т.е. решать так называемую прямую задачу анализа, так называемый поверочный расчет.

При создании системы возникает необходимость решать более сложную задачу синтеза по обусловленным техническим заданием на проектирование системы значениям внешних и выходных параметров находить его внутренние параметры. В инженерной практике решению такой задачи соответствует проектировочный расчет, часто имеющий целью оптимизацию внутренних параметров по некоторому критерию оптимальности. Однако при построении ММ системы функция в (1.1) обычно заранее не известна и ее требуется установить. Эта наиболее сложная задача решается при идентификации ММ.

Задача идентификации может быть решена путем математической обработки информации о ряде таких состояний системы, для каждого из которых известны значения выходных, внутренних и внешних параметров. Один из таких способов связан с применением регрессионного анализа. Если информация о внутрен­них параметрах отсутствует или же внутреннее устройство системы слишком сложное, то ММ строят по принципу чер­ного ящика, устанавливая соотношение между внешними и выходными параметрами путем исследования реакции системы на внешние воздействия.

Взаимосвязь выходных, внутренних и внешних параметров, отображаемая соотношением (1.1), определяет структуру ММ, которая в общем случае может быть выражена и в неявном виде.