2. Геометрический смысл дифференциала

Из рисунка: из М₀АВ .

Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции y=f(x) в точке х₀- это приращение ординаты точки касательной к графику функции в точке M₀(x₀;y₀), соответствующее приращению аргумента х.

3. Уравнение касательной и нормали к графику функции y=f(x)

Известно, что всякая прямая не параллельная оси Оу, проходящая через точку M₀(x₀;y₀), имеет уравнение .

П усть f(x) дифференцируема в точке х₀. Следовательно, график функции имеет в точке (x₀;y₀) касательную, угловой коэффициент которой . Тогда уравнение касательной имеет вид

.

Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀) и перпендикулярная к касательной, называется нормалью к графику функции f в точке M₀(x₀;y₀). Т.к. коэффициенты перпендикулярных прямых k₁ и k₂, связаны соотношением , то , , и, значит, уравнение нормали имеет вид

.

§ 4. Физический смысл производной и дифференциала

Пусть f(x) определена в . Придадим точке x₀ приращение , тогда приращение функции . Пусть . Отношение -это средняя скорость изменения переменной y на отрезке относительно х.

- мгновенная скорость изменения переменной у в точке x₀ относительно х.

Таким образом - скорость функции в точке х₀. Тогда если f описывает некоторый процесс любого характера (механического, биологического, химического и т.д.), то f  - скорость изменения этого процесса в точке х₀.

Примеры.

1) Пусть - закон движения материальной точки. В момент времени t₀ точка прошла путь S₀. В момент времени точка прошла путь S. За время t точка прошла путь .

- средняя скорость движения точки между моментами времени t₀ и ,

- называется скоростью движения материальной точки в момент времени t₀.

, .

S - путь, фактически пройденный материальной точкой за промежуток времени t (между t₀ и ) с переменной скоростью.

dS - путь, который прошла бы точка за момент времени t, если бы она двигалась с постоянной скоростью ( скоростью в момент времени t₀).

Если , то .

2) - закон изменения скорости. Рассуждаем аналогично примеру 1: - среднее ускорение за время между t₀ и , - ускорение в момент времени t₀.

§5. Дифференцирование суммы, разности, произведения, частного

Теорема 1. Если функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы их сумма, произведение и (при условии, что ) частное, при этом справедливы равенства

, (1)

, (2)

. (3)

Доказательство.

1) Пусть . Придадим переменной х приращение . Тогда функции u и v получат приращения u и v соответственно. Тогда

,

. (4)

Пусть , так как u и v дифференцируемы в точке х, то существует и существует . Следовательно, существует правой части равенства (4): . Значит, и существует и левой части .

Переходя в (4) к , получим .

2) Пусть y=u(x)v(x). Придадим точке х приращение . Функции u=u(x) и v=v(x) получат приращения . Тогда

,

. (5)

Пусть . Так как u(x) и v(x) дифференцируемы в точке х, то существует и существует . Так как функция u(x) дифференцируема в точке х, то она непрерывна в этой точке, значит, Поэтому существует

.

Так как существует правой части равенства (5), то существует и левой части, то есть существует . Переходя в (5) к получим

.

3) Пусть . Т.к. функция v(x)дифференцируема в точке х, то она непрерывна в этой точке. Т.к. v(x) непрерывна и v(x) в точке х, то v(x) в некоторой окрестности точки х V(x). Тогда частное определено в V(x).

Придадим точке х приращение : , функции u=u(x) и v=v(x) получат приращения и . Тогда

,

. (6)

Так как u(x) и v(x) дифференцируемы в точке х, то существует и существует . Так как функция v(x) дифференцируема в точке х, то она непрерывна в этой точке, значит, . Тогда существует

.

Значит, существует и левой части равенства (6), то есть существует . Переходя в (6) к , получим

.

Замечание. Утверждения о дифференцируемости суммы и произведения справедливы для любого конечного числа функций.

Например .

Следствие 1. Если u(x) дифференцируема в точке х, а , то функция y=Cu(x) также дифференцируема в точке х и (следует из формулы (2) при ).

Следствие 2. Если функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в точке х, то в точке х дифференцируема их разность y=u(x)-v(x), причем (следует из формулы 1 и следствия 1).

Следствие 3. (следует из формулы 3 при u(x)=1).

Теорема 1 справедлива как для точки, так и для промежутков. Кроме того, она переносится и на дифференциалы функций.

Теорема 2. Пусть u(x) и v(x) дифференцируемы в точке х. Тогда

,

,

,

.

Доказательство.

Например, для произведения:

.