20.6. Розрахунок міцності позацентрово-стиснених елементів прямокутного перерізу
У
практичних розрахунках прямокутних
перерізів найчастіше всього приходиться
за відомих і інших даних визначати As
і
.
Для
цього необхідно, насамперед встановити,
до якого випадку позацентрового стиску
належить задача, яку ми розглядаємо. Як
відзначено вище, при x
<
–
перший
випадок, а при x
>
– другий випадок. Однак під час розрахунку
перерізів x
– невідоме, тому потрібно орієнтуватися
за ексцентриситетом.
При
>0,8
перерізи
доцільно запроектувати як такі, що
працюють за першим випадком, а при
<0,3
– за другим випадком.
Для розрахунку за першим випадком розрахункові формули можна одержати із виразів (20.2) – (20.4):
;
(20.12)
;
(20.13)
.
(20.14)
Перший член правої частини нерівності (20.12) має такий самий вигляд, як для згинальних елементів (19.24), (19.26) і (19.35) цей вираз можна подати у вигляді
,
(20.15)
де
;
.
Положення нейтральної осі визначають із умови (20.13)
;
звідки
.
(20.16)
Площу
перерізу арматури
і
знайдемо
за формулами, одержаними із виразів
(20.12) і (20.13):
;
(20.17)
.
(20.18)
У
цих двох рівняннях містять три невідомі:
,
,
;
отже, можна вибрати множину значень,
які задовольняють умови (20.17) і (20.18).
Під час проектування конструкцій необхідно вибирати таке рішення, яке б відповідало найекономічнішому армуванню: ( + )min; ця третя умова робить задачу повністю визначеною.
Прийнявши, просуваємо почленно праві і ліві частини рівнянь (20.17) і (20.18) і після перетворень зобразимо суму у вигляді
.(20.19)
У цьому виразі від залежить тільки другий член у чисельнику. Тому вираз (20.19) досягає мінімального значення за умови
.
Цей вираз матиме максимум тоді, якщо його перша похідна по x дорівнюватиме нулю:
.
Звідси визначаємо найвигідніше розташування нейтральної осі, за якого сумарна площа перерізу арматури і буде мінімальною, тобто витрата сталі буде мінімальною
.
(20.20)
Із виразу (20.20) очевидно, що нейтральна вісь ділить навпіл віддаль між центрами ваги і .
При
нейтральна
вісь при найвигіднішому її положенні
ділить
у відношенні, оберненому їхнім
розрахунковим опорам
.
(20.21)
Це правило справедливе для перерізів будь-якої форми, симетричної щодо площини згину, не тільки для позацентрово-стиснених елементів, але і для позацентрово-розтягнених та згинальних елементів.
Для
елементів прямокутного перерізу у разі
бетону класу В30 і нижче можна наближено
прийняти
і
.
Тоді із рівняння (20.17)
,
(20.22)
а площу перерізу розтягнутої арматури визначають за формулою:
(20.23)
яка витікає із виразу (20.18).
У
формулу (20.23) необхіднод підставити
,
якщо
знайдене із виразу (20.22).
Максимальне
значення
за класу бетону В40 і вище і заданих
розмірів перерізу (яке відповідає
найменшому значенню суми
)
одержимо у разі повного використання
стисненої зони бетону, тобто при
і
.
Тому формула для визначення розрахункової
площі перерізу стисненої арматури
набуде вигляду:
.
(20.24)
За
такого значення
площу перерізу розтягненої арматури
визначають
за формулою (20.23) при
.
Значення
і
вибираємо з табл. 19.2.
Якщо площу перерізу стисненої арматури , отримано за формулою (20.24), виявляється менше конструктивного мінімуму, тоді призначають із конструктивних міркувань і елемент розраховують як у разі заданої стисненої арматури. У такому разі спочатку із виразу (20.15) визначають
:
(20.25)
потім
за табл. 19.1 одержують відповідні значення
і обчислюють
за формулою (20.23).
Під
час врахування стисненої зони арматури
необхідно, щоб у розрахунку задовольняли
умову
.
Якщо цю умову дотримано , площа перерізу
розтягнутої арматури, згідно з виразом
(20.6), визначають за формулою
.
(20.26)
За
порівняно великих значень
і при
може виявитися, що
.
(20.27)
У
такому разі врахування стиснутої
арматури призведе до перевитрат арматури
S
або під час перевірки міцності (у разі
заданої
)
до зниження несучої здатності елемента,
оскільки плече внутрішньої пари буде
менше, ніж під час розрахунку без
врахування стисненої
арматури (
).
Тому площу перерізу арматури із рівняння
моментів щодо центра ваги стисненої
зони бетону (див. рис. 20.5).
,
(20.28)
звідки,
підставляючи
,
одержимо
,
(20.29)
де визначають за табл. 19.1 відповідно до значення
.
(20.30)
Прямокутний
переріз позацентрово-стиснених елементів
за другим випадком розраховують при
.
Висота стисненої зони бетону класу В30
і нижче з арматурою класів AI
– AIII
за
формулою
,
(20.31)
де
,
(20.32)
Позацентрово-стиснені
елементи незалежно від результатів
розрахунку завжди повинні мати арматуру
і
арматуру
,
мінімально допустимі перерізи яких
нормовані (табл. 20.2).
Іноді
доцільне симетричне армування
,
наприклад, коли на елемент діють близькі
за значенням моменти різних знаків або
коли перевитрати арматури порівняно з
несиметричним армуванням не перевищує
5, а також за достатньо низького відсотка
армування
.
Таблиця 20.2
Мінімальна площа перерізу повздовжньої арматури у
позацентрово-стиснених елементах
Гнучкість |
|
|
|
|
, , % |
0,05 |
0,1 |
0,20 |
0,25 |
Підставляючи
у загальну формулу (20.2) умову симетрії
і
,
одержимо
,
(20.33)
звідки
;
(20.34)
.
(20.35)
При
(перший
випадок) площу перерізу симетричної
арматури визначають із формули (20.12),
використовуючи співвідношення (20.30) і
(20.34),
.
(20.36)
Для
розрахунку позацентрово-стиснених
залізобетонних елементів за другим
випадком (при
або
)
розрахункові формули можна бути одержати
із виразів (20.12) і (20.13) підставлянням у
них замість
напружень
,
і обчислюють за формулою (20.32).
У першому наближенні можна визначити за формулою для граничного випадку
.
(20.37)
Площу перерізу попередньо визначають із виразу, аналогічно до формули (20.37), за одержаним рівнянням моментів щодо осі, яка проходить через точку прокладання діючої зусиль у арматурі S’:
.
(20.38)
Значення і , одержані за формулами (20.37) і (20.38), потім уточнюють за формулами (20.12) і (20.13) з підставлянням у них замість напружень .
Якщо
ексцентриситет
є у межах
і відсоток армування
(слабко
стисненої) або
(слабко розтягненої) практично завжди
виявляється меншим від конструктивного
мінімуму.
За
сили N,
яка прикладається із випадковим
ексцентриситетом (
),
при
розрахунок стиснених елементів дозволено
виконувати із умови
,
(20.39)
де m
= 1 при
см; m = 0,9
при
,
коефіцієнт
повздовжнього згину, значення якого
визначають за формулою.
,
(20.40)
тут
і
– коефіцієнти, які приймають за табл.
20.3:
,
(20.41)
але
не більше
площа перерізу (b
і
h
відповідно ширина і висота).
Таблиця 20.3
Значення
коефіцієнтів
і
при
Примітка: Nдт – поздовжня сила від дії постійного і довготривалого навантаження; N – поздовжня сила від дії всього навантаження (постійних, довготривалих, короткочасних).
За наявності проміжних стрижнів, розташованих у граней, паралельних площині, яку розглядаємо, ( ) приймають такою, що дорівнює половині площі перерізу арматури у поперечному перерізі арматури у поперечному перерізі елемента.
Підбираючи
необхідну арматуру, у обох випадках
розрахунку для врахування гнучкості
елемента (для визначення Ncr
і
)
за гнучкості
дозволено задаватись загальним відсотком
армування перерізу, яке відповідає
певним визначеним інтервалам армування
(табл. 20.4).
За
прийнятим коефіцієнтом
обчислюють Ncr
і
і одержують площу перерізу арматури
і
за наведеними вище формулами.
Якщо одержана загальна площа перерізу + відповідає заданому інтервалу армування, розрахунок вважається закінченим.
Якщо ж + виявиться у іншому інтервалі армування, необхідно повторити розрахунок за повного значення .
Таблиця 20.4
Значення коефіцієнта армування у разі визначення Ncr
Інтервал відсотка одержання
|
Коефіцієнт армування
|
0,8 – 1,8 1,8 – 2,8 2,8 – 3,8 |
0,01 0,02 0,03 |
Приклад
20.1. Переріз
позацентрово-стисненого елемента b
= 30, h
= 60 см; розрахункова довжина
елемента
м
; бетон класу В20;
МПа;
модуль пружності бетону
=
24000 МПа (див. табл. 18.5); арматура
із гарячекатаної сталі класу А-III
(
МПа,
МПа
(див. табл. 17.1)).
Розрахункові
поздовжні сили і згинальні моменти від
постійного навантаження
Н;
Нм,
від довготривалої дії частини навантаження
Н;
Нм;
від короткочасної частини навантаження
Н;
Нм.
Потрібно підібрати площу перерізу арматури і .
Розв’язання.
1. Визначаємо ексцентриситет:
см.
2. Визначаємо випадковий ексцентриситет:
см
або
см.
Приймаємо
більше значення
см.
3.
Визначаємо гнучкість елемента
.
Гнучкість
елемента є у межах
,
тому потрібно враховувати повздовжній
згин і довготривалу дію навантаження.
При
наближено можна вважати, що
є
у першому інтервалі коефіцієнта
армування, якому відповідає
(табл.20.4).
4.
Обчислюємо загальний ексцентриситет
за формулою (20.1)
км;
см.
5. Одержуємо коефіцієнт , який враховує вплив довготривалої дії навантаження на міцність елемента у граничному стані.
За
формулою (20.10) при
6.
Визначаємо
,
що задовольняє умову (20.11)
7.
Знаходимо
,
за формулою (20.9)/жз
=3039460H.
8. Визначаємо коефіцієнт повздовжнього згину за формулою (20.10):
9. Визначаємо ексцентриситет із врахуванням повздовжнього згину і випадок позацентрового стиску:
см
см;
отже,
Розрахунок виконують за першим випадком позацентрового стиску.
10.
Визначаємо ексцентриситет
за формулою (20.7)
см.
11. Обчислюємо площу перерізу арматури за формулами (20.22) і (20.23):
см2;
(табл.
20.2)
см2
Загальний
відсоток армування
відповідає прийнятому першому інтервалу
відсотків армування (табл. 20.4).
Розрахунок вважаємо завершеним.
Приймаємо
стиснену арматуру 4Ø8A-III
(
см2);
розтягнену арматуру 4Ø25A-III
(
см2).