29. Трансверсальные цф. Характеристики цф, имеющих импульсные характеристики с зеркальной симметрией и четным n.

Функция h_k зеркально симметрична относительно ординаты k=L; функция g_k зеркально симметрична относительно оси ординат, h_k=g_k+L+0.5, N - четное (рис.3 ).

Число L будет составлять целое число шагов и плюс полшага. Найдем спектр функции g_k; ее конкретные значения g_0.5=g_-0.5 удалены от начала координат на 1/2 шага (по времени на T/2 ), значения g_1.5=g_-1.5 на 3/2 шага (на 3T/2 ) и т.д.

Рис.3. Графики вспомогательной функции и импульсной характеристики

Спектр функции g_k можно определить как ряд Фурье, не содержащий постоянную составляющую, по формуле

.

Так как , и , то после замен можно записать

.

Спектр состоит из четных комплексных гармоник, периоды которых кратны Ω=π/2T. Периоды гармонических составляющих, в данном случае частотных, уменьшены по сравнению с предыдущей функцией в 2 раза, так как первый отсчет имеет номер k=0.5. Спектр представляет действительную функцию, симметричную относительно точки на оси частот с координатой π/T (рис.4). КЧХ ЦФ определяется как спектр функции h_k, запаздывающей по отношению к g_k на величину LT, уже известным выражением .

АЧХ ЦФ – это , (6)

а фазовая функция (7)

линейна и определяется аргументом КЧХ .

Рис.4. АЧХ и ФЧХ КИХ-фильтра с зеркально симметричной импульсной характеристикой и четным N

Перерасчет номеров можно произвести при помощи рисунка 4 или таблицы с учетом того, что h_k по отношению к g_k равно L:

			…	-1.5	-0.5	0.5	1.5	…	L-1	L
	0	1	…	L-1.5	L-0.5	L+0.5	L+1.5	…	N-1	N-1

30. Трансверсальные цф. Характеристики цф, имеющих импульсные характеристики с центральной симметрией и нечетным n.

Функция центрально симметрична относительно точки (антисимметрична), функция центрально симметрична относительно начала координат, число - нечетное. Графики функции показаны на рис.5.

Рис.5. Графики вспомогательной функции и импульсной характеристики

Равноудаленные от координаты значения и равны между собой по абсолютной величине, но имеют разные знаки, т.е., . Спектр равен

.

После замены получим

.

В результате получен мнимый спектр, содержащий синусоидальные составляющие с периодами, кратными Ω=2π/T. Этот спектр представляет центрально симметричную функцию

КЧХ ЦФ может быть получена как спектр функции с учетом запаздывания:

,

Здесь

(8) - АЧХ фильтра,

(9) - ФЧХ фильтра.

Рис.6. АЧХ и ФЧХ КИХ-фильтра с центрально симметричной импульсной характеристикой и нечетным

Начальная фаза π/2 в аргументе показательной функции образовалась в результате освобождения от мнимого множителя . Имеет место равенство с помощью которого можно мнимую единицу в качестве множителя перевести в аргумент показательной функции.

График функции показан на рис.6