Анализ точности цифровых фильтров
В настоящей работе рассматриваются и сравниваются различные уравнения работы рекурсивного цифрового фильтра (ЦФ), и на их основе различные алгоритмы работы ЦФ и различные подходы к проектированию ЦФ. Основным критерием сравнения алгоритмов является точность результатов обработки данных.
Точность работы ЦФ является важнейшей оценкой его качества. Существующие методы оценки точности ЦФ отличаются значительной сложностью, требуют основательной подготовки специалистов, разработки трудоемких программ. К тому же эти методы не являются универсальными [2,3]. В работе предлагается методика упрощенного анализа точности ЦФ.
Цифровые фильтры рекурсивные и трансверсальные находят широкое применение в системах цифровой обработки сигналов. В основу синтеза рекурсивного ЦФ в подавляющем большинстве случаев положено уравнение его работы
.
(1)
Здесь
- входной сигнал (отсчеты сигнала);
- выходной сигнал (отсчеты сигнала);
и - параметры ЦФ, называемые также коэффициентами фильтра; обычно это постоянные величины, определяемые при синтезе ЦФ;
и - целые числа, определяющие количество соответствующих параметров ЦФ, и, следовательно, сложность ЦФ; - число циклов работы ЦФ в одном сеансе обработки сигнала. Обычно это число относится к техническим параметрам фильтра. Для реальных, физически реализуемых фильтров , при этом числом определяется порядок ЦФ.
Отсчеты
сигналов:
и
,
а также параметры ЦФ:
и
,
образуют числовые последовательности,
являющиеся дискретными функциями
дискретных переменных
и
.
Последовательности, относящиеся к
сигналам, обычно являются случайными
функциями, а последовательности,
относящиеся к параметрам ЦФ, являются
детерминированными функциями. Дискретные
переменные
и
- безразмерные; при работе ЦФ они являются
номерами циклов (тактов), поэтому их
можно идентифицировать с дискретным
безразмерным временем.
В уравнении (1) первая сумма описывает трансверсальные (прямые) связи в ЦФ, вторая сумма – рекурсивные (обратные) связи. Поэтому, первую сумму называют трансверсальной, а вторую – рекурсивной частью уравнения ЦФ. Та и другая суммы представляют собой дискретные свертки сигналов с числовыми последовательностями, образуемыми параметрами ЦФ. Наличие рекурсивной части в ряде случаев вызывает неустойчивую работу фильтра из-за обратных связей (положительных) и из-за появляющейся по этой же причине способности фильтра накапливать и размножать в выходном сигнале ошибки отсчетов этого сигнала, полученные во всех предыдущих циклах работы.
Путем известных преобразований: Лапласа, z-преобразования, Фурье и других на основе приведенного выше уравнения (1) можно получить выражения для системной (передаточной) функции фильтра, его частотных характеристик, импульсной характеристики.
Уравнение трансверсального фильтра не содержит рекурсивной части:
.
(1а)
Такой фильтр отличается устойчивостью в работе.
В данной статье рассматриваются различные формы задания уравнения работы рекурсивного ЦФ.
Зададим циклы
работы рекурсивного ЦФ
,
где
- конечное (или бесконечное), и составим
систему уравнений, каждое из которых
описывает работу ЦФ в отдельном цикле
согласно (1):
(2)
Избавимся в правой части уравнений системы (2) от . Для этого во все уравнения системы, кроме первого подставим значения , относящихся к предыдущим циклам по отношению к текущему. Сгруппировав слагаемые с одинаковыми (одинаковыми индексами) и вынеся за скобки, получим в скобках выражения, которые обозначим :
(3)
Величины
являются первыми отсчетами дискретной
импульсной характеристики ЦФ. Их можно
получить и другими приемами, например,
делением полиномов числителя и знаменателя
системной (передаточной) функции
рекурсивного ЦФ. Отсчеты импульсной
характеристики (3) можно представить
одной рекуррентной формулой
.
(3а)
При этом для
коэффициентов
индексы изменяются в пределах
,
для
в пределах
,
а для
- в пределах
.
Следует отметить, что импульсная
характеристика в общем представляет
собой бесконечную числовую
последовательность. Однако на практике
входные сигналы фильтров являются
конечными (финитными) последовательностями,
так что участвуют в формировании
выходных сигналов только первые
значений импульсной характеристики.
Обычно
.
Кроме того,
импульсная характеристика устойчивого
в работе рекурсивного ЦФ, имеет тенденцию
с течением времени убывать по абсолютной
величине, асимптотически приближаясь
к оси времени (рис.1). Разумеется, что
такая характеристика будет обеспечивать
нужную точность вычислений, пока ее
отсчеты будут превышать некоторую
критическую величину
,
сравнимую с интервалом (шагом) квантования
,
где
разрядность отсчетов характеристики.
С учетом этого импульсная характеристика
и рекурсивного ЦФ является конечной во
времени. На рис.1 уровнями
отмечена та критическая величина,
попадая в пределы которой характеристика
вырождается, т.е., перестает быть
действенной. Например, число отсчетов
указанной на рис.1 характеристики
следует ограничить до некоторого
.
Следует отметить, что шаг квантования
справедлив только для дробной арифметики
представления чисел.
Рис.1. Импульсная характеристика