22. Расчет ких-фильтров методом взвешивания. (лучше окна симметричные относительно нуля!)

Предполагает задание для расчета фильтра его КЧХ H(e^jω), которая с учетом линейности ФЧХ φ(ω) должна иметь один из четырех видов АЧХ H(ω) ЦФ – дискретная система с импульсной характеристикой h_k, k=0,1,…, то его АЧХ представляется периодической функцией. Импульсная характеристика может быть получена из КЧХ как набор коэффициентов Фурье во временной области, т.е. (1)

В (1) k - порядковые номера (индексы) отсчетов импульсной характеристики, T- интервал ее дискретизации, Ω_пер=2π/T - частотный период АЧХ. Простое ограничение последовательности k конечным числом ее отсчетов N-1 равносильно наложению на h_k прямоугольного окна. Это ограничение приводит к появлению выбросов АЧХ фильтра, т.е. к ее искажению.

Рис.1. Импульсная и частотная характеристики прямоугольного окна

Cпектральная характеристика прямоугольного окна - это спектр прямоугольного импульса. Его можно представить рядом Фурье в частотной области

(2) Выражение – сумма геометрической прогрессии с числом членов N, первый при w_k=1 равен e^-jkTω|_k=0=e⁰=1, знаменатель прогрессии равен e^-jTω

С учетом этого получим W(e^jω)=(1- e^-jNTω)/(1- e^-jTω) (2а)

Выражение вида 1-e^±jα преобразовывается следующим образом: 1-e^±jα= - (±j2e^±jα/2sin(α/2))

После чего, приняв α = - jNTω для числителя выражения (2а), и α = - jTω для знаменателя, получим W(e^jω)=e^-j(N-1)Tω/2sin(NTω/2)/ sin(Tω/2). (3)

Спектр прямоугольного дискретного окна представляет собой модуль спектральной характеристики, являющийся действительной функцией W(ω)=sin(NTω/2)/ sin(Tω/2), (4) и ее аргумент, также действительную линейную функцию φ_w(ω)= φ(ω)= - 0,5(N-1)Tω . (5)

Главный (центральный) лепесток спектра занимает область частот -2π/NT≤ω≤ 2π/NT.

В нем сосредоточена основная доля энергии прямоугольного импульса. Этот лепесток определяет наклон АЧХ ЦФ в переходной зоне между полосами пропускания и задерживания. Чем уже этот лепесток, тем круче наклон. Боковые лепестки задают пульсации АЧХ.

При выборе окон другой формы, отличной от прямоугольной, следует стремиться к тому, чтобы на боковые лепестки приходилось как можно меньше энергии по сравнению с энергией центрального лепестка, с тем, чтобы уменьшить пульсации.

Дискретное треугольное (6) где .

АЧХ треугольного окна (для ) (рис.2а), вычисленная по заданной импульсной характеристикой (6) в общем виде показана на том же рис.2б. Центральный лепесток треугольного окна занимает более широкую полосу, чем у прямоугольного окна, что приводит к появлению зоны перехода в АЧХ ЦФ. Однако изрезанность АЧХ треугольного окна существенно меньше, чем прямоугольного, что благоприятно скажется на уменьшении выбросов АЧХ ЦФ.

а) Рис.2. Характеристики треугольного дискретного окна б)

23. КИХ-ФИЛЬТРЫ С ЛИНЕЙНОЙ ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ. МЕТОД ЧАСТОТНОЙ ВЫБОРКИ

Исходными данными для расчета КИХ- фильтра является АЧХ, дискретная или непрерывная. В качестве прототипа для проектирования ЦФ можно выбрать электрический фильтр, простроить его КЧХ, перейти от нее к АЧХ, дискретизировать последнюю по частоте и синтезировать КИХ-фильтр по ее отсчетам. Необходимым условием синтеза по этому методу является наличие зоны перехода в АЧХ от полосы пропускания к полосе задерживания

Полоса Переходная Полоса

пропускания зона задержания

Рис.1. Заданные частотные характеристики

Характеристика задается в полосе пропускания и в полосе задерживания, в переходной зоне характеристики могут иметь произвольные значения, эту зону стремятся сделать как можно меньше. временной импульсной характеристики, так и заданной дискрктной АЧХ, равным , запишем отношения между интервалами дискретизации во временной и частотной областях:

, (1)

где - частотный интервал дискретизации.

Принятое отношение дает возможность связать импульсную характеристику ЦФ и заданную дискретную АЧХ парой дискретных преобразований Фурье:

, (2) , (2а)

где – импульсная характеристика ЦФ, - заданная частотная характеристика ЦФ.

Постоянная величина содержит комплексно связанные значения тригонометрических функций и , а дискретные комплексно сопряженные функции и выполняют прямое и обратное преобразования Фурье (ДПФ и ОДПФ).

Формулы (2) и (2а) позволяют построить импульсную характеристику ЦФ по заданной дискретной АЧХ (КЧХ).

Непрерывную АЧХ ЦФ можно записать в виде ограниченного ряда Фурье в частотной области

. (3)

Отсчеты импульсной характеристики получают по формулам коэффициентов Фурье в частотной области:

. (3а)

Формулы (3а) дают возможность определить отсчеты импульсной характеристики по заданной непрерывной АЧХ

Заменим в (3) согласно (2а) и получим . (4)

В последнем выражении поменяли местами знаки сумм и объединили показатели степеней при натуральном основании .

Дискретная последовательность представляет собой геометрическую прогрессию с начальным членом и знаменателем ; сумма прогрессии из членов будет равна

.

Функции типа преобразуются к виду . С учетом сделанных замечаний выполним соответствующие замены в (4); получим

. (5)

Функции типа преобразуются к виду . С учетом сделанных замечаний выполним соответствующие замены в (4); получим

. (5)

В соответствии с (5) комплексные функции

(6)

являются составляющими непрерывной КЧХ ЦФ. Комплексными они являются из-за присутствия в них постоянной , возводимой в степень.

Если заданная АЧХ является четной функцией, то преобразуется в действительную функцию, являющуюся непрерывной АЧХ:

, (7)

и

. (8)

Рис.2. Графики образующих функций