20. Расчет цф по квадрату ачх

При анализе непрерывных линейных систем, в частности, электрических цепей и аналоговых фильтров пользуются квадратом амплитудно-частотной характеристики (АЧХ). Это вызвано тем, что подобные системы предназначены для обработки случайных сигналов, а последние описываются энергетическим спектром (спектральной плотностью мощности сигнала). Энергетический спектр выходного и входного случайных сигналов в таких системах связаны соотношением

,

где и - спектральные плотности мощности входного и выходного сигналов,

- амплитудно-частотная характеристика аналогового фильтра; в формуле (1) она в квадрате.

Квадрат амплитудной характеристики представляется как произведение комплексно-сопряженных выражений его комплексной частотной характеристики (КЧХ):

.

Подобным образом представляется и квадрат амплитудной частотной характеристики рекурсивного ЦФ

. (1)

где - КЧХ рекурсивного ЦФ.

В общем виде частотная характеристика ЦФ представляется следующей формулой

, (2)

где и - коэффициенты ЦФ, - интервал дискретизации.

Выражение для получают из выражения системной функции ЦФ

(3)

путем замены .

С учетом (1) и (2) выражение для квадрата амплитудной характеристики запишется так:

. (4)

При перемножении сумм в (4) следует учитывать свойство функций , заключающееся в том, что и . После перемножения следует сгруппировать слагаемые с одинаковыми степенями показательных функций (без учета знаков плюс и минус в показателях степеней) и ввести новые постоянные. Для числителя такими постоянными будут

,

, (5)

,

… … …

.

По аналогичным формулам можно вычислить также новые постоянные для знаменателя.

После введения замены образуются пары слагаемых вида и в числителе и аналогичные пары с коэффициентами в знаменателе.

С учетом выше изложенного квадрат амплитудной характеристики примет следующий вид

. (6)

В некоторых случаях более удобным является следующее выражение для квадрата амплитудной характеристики

. (7)

Его можно получить путем замены и введения новых коэффициентов:

, (8)

для числителя и

, (9)

для знаменателя.

При проектировании ЦФ квадрат частотной характеристики задается в виде функций (6) или (7). Задача синтеза ЦФ заключается в определении коэффициентов фильтра и по заданному квадрату АЧХ и решается в порядке, обратном тому, который привел к формулам (6) и (7).

Переход от формулы (7) к формуле (6) не представляет особого труда. Он заключается в решении уравнений (8) и (9) относительно коэффициентов и . Решениями уравнений (8) и (9) будут

, (8а)

и

, (9а)

.

Переход от формулы (6) к формуле (3) с целью получения численных значений коэффициентов и ЦФ представляет значительные трудности. Они вызваны необходимостью решить систему нелинейных уравнений (5) в отношении коэффициентов , а также решить подобную систему уравнений для нахождения коэффициентов . Более просто система (5) решается для ЦФ второго порядка. Следует отметить, что на практике предпочтение отдается ЦФ первого и второго порядка, как более устойчивым в работе. При необходимости реализации сложных алгоритмов в ЦФ более высоких порядков их получают соединением ЦФ второго и первого порядков каскадно или параллельно. Система уравнений (5) для ЦФ второго порядка имеет вид

,

, (10)

.

Путем объединения уравнений (10) можно получить одно уравнение, связывающее коэффициенты ЦФ с коэффициентами :

.

Отсюда

. (11)

Воспользовавшись вторым уравнением системы (10), выразим сумму

.

Подставим полученную замену в (11) и выведем уравнение с неизвестным

. (12)

Решение уравнения (12) позволит определить первый коэффициент ЦФ

. (13)

После нахождения путем подстановок нетрудно определить остальные коэффициенты:

. (14)

. (15)

В отдельных случаях при решении системы (10) можно получить по несколько корней для , и . Считая, что коэффициенты ЦФ являются действительными, следует из полученного набора корней выбрать только действительные. Следует иметь в виду, что корни и входят в систему (10) как взаимно обратные величины, и поэтому они могут обмениваться своими численными значениями.

Несколько проще решается нелинейная система уравнений первого порядка, связывающие коэффициенты и с коэффициентами и :

,

.

Ее решения:

,

.

Здесь также взаимно обратные величины и могут обмениваться своими значениями. Аналогичные выкладки можно выполнить и в отношении коэффициентов ЦФ и вывести формулы аналогичные полученным для коэффициентов .

Расчет рекурсивного фильтра более высокого порядка по квадрату частотной характеристики связан со значительными трудностями, обусловленными нелинейностью систем уравнений типа (5).

Формулу (7) можно получить из квадрата АЧХ аналогового фильтра прототипа, если АЧХ задана в виде функции квадрата частоты , здесь - относительная частота; например, может выражать отношение текущей частоты к некоторой фиксированной частоте, обычно к частоте среза. Заменяя на , делают переход от квадрата частотной характеристики прототипа к квадрату частотной характеристики ЦФ.

Вернемся к фильтру второго порядка. Пусть квадрат частотной характеристики прототипа описывается функцией

.

Сделав подстановку , получим квадрат АЧХ цифрового фильтра

. (16)

Имея в виду, что , получим

. (17)

Описанный метод синтезирования рекурсивных ЦФ не находит широкого применения из-за трудоемкости вычислений при высоких порядках передаточных функций прототипа и ЦФ.

21. КИХ-ФИЛЬТРЫ С ЛИНЕЙНОЙ ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ. ХАРАКТЕРИСТИКИ КИХ-ФИЛЬТРОВ.

Такие цифровые фильтры называют также фильтрами с минимально фазовой характеристикой. Особенность фазовой характеристики таких фильтров заключается в том, что она линейна в зависимости от частоты.

В общем виде частотная характеристика ЦФ

, (1)

где - параметры ЦФ, они же - отсчеты импульсной характеристики ЦФ,

- интервал дискретизации входного, выходного сигналов и характеристик ЦФ,

- круговая частота (непрерывная независимая переменная),

- число отсчетов импульсной характеристики

Компл.Част.Хар: , (2)

где -модуль, являющийся амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) ЦФ; это действительная положительная функция ,

- фазовая характеристика, также действительная функция, линейная в области частот.

- число интервалов ; может быть целым или в форме неправильной дроби.

Введем вспомогательную симметричную относительно оси ординат функцию , для нечетного , и , для четного . где . Симметрия этой функции также может быть зеркальной или центральной. Функция аналогична импульсной характеристике ЦФ , за исключением того, что опережает ее по времени на величину .

Функция зеркально симметрична относительно ординаты ; функция зеркально симметрична относительно оси ординат, при этом , - нечетное (рис. 1).

Рис.1. Графики вспомогательной функции и импульсной характеристики

Спектр представляет собой действительную четную функцию.

,

или

, . (3)

Косинусоидальные гармоники имеют частотные периоды, кратные .

Выражение для КЧХ ЦФ с импульсной характеристикой, показанной на рис. 1, можно записать в следующем виде

, (4)

где

, , (5)

.

То-есть, комплексно-частотная характеристика состоит из АЧХ в виде четной функции и ФЧХ в виде нечетной линейной функции (рис. 2). Следует иметь в виду, что номера отсчетов дискретных функций и подчиняются соотношению , в котором слева номера отсчетов функции , а справа функции . Это соотношение легко установить с помощью рисунка 1или с помощью следующей таблицы, составленной согласно рисунку:

			…	-1	0	1	…	L-1	L
	0	1	…	L-1	L	L+1	…	N-1	N-1

Рис. 2. АЧХ и ФЧХ КИХ-фильтра с зеркально симметричной импульсной характеристикой и нечетным