Расчет рекурсивных цф по методу согласованного z-преобразования
Этот метод основан на прямом отображении нулей и полюсов передаточной функции фильтра-прототипа в нули и полюсы системной функции ЦФ. Нулями передаточной или системной функции называют корни числителя, а полюсами - корни знаменателя.
Для перехода от передаточной функции-прототипа
(1)
к системной функции ЦФ
(2)
первую необходимо
преобразовать так, чтобы числитель и
знаменатель ее представляли собой
произведения сомножителей вида
и
,
где
и
- соответственно нули и полюсы. Для
нахождения нулей необходимо решить
уравнение
,
для нахождения полюсов – уравнение
,
где
и
соответственно числитель и знаменатель
передаточной функции
.
После преобразований передаточная
функция примет следующий вид
. (3)
Следует иметь в виду, что полюсы и нули могут быть действительными или комплексными; комплексные корни всегда встречаются сопряженными парами. Те и другие могут быть простыми и кратными. При представлении в форме (3) переход к не представляет большого труда.
Если корень
уравнения
или
равен соответственно
(нуль) или
(полюс), где
- простое действительное число, то ему
соответствует корень (нуль или полюс)
системной функции ЦФ
.
При этом выражениям вида
или
передаточной функции прототипа
соответствуют выражения
системной функции ЦФ. В этом случае в
формуле (3) имеет место замена
.
(4)
или
.
(4а)
Функции
и
равнозначны, и подстановка
как в первую (4), так и во вторую (4а) формулы
приводит к одной и той же частотной
характеристике. Предпочтение отдается
отрицательным степеням величины
в заменяющих выражениях, потому что так
принято их проставлять в формулах для
системной функции
рекурсивного фильтра.
Комплексно-сопряженной
паре корней
и
соответствуют корни
и
,
а выражениям
и
соответствуют выражения
и
.
Замена в (3) в этом случае производится
по схеме
,
(5)
или по схеме
.
(5а) Символом
обозначен интервал дискретизации,
принятый для проектируемого ЦФ. Следует
обращать внимание на то, чтобы частота,
образуемая интервалом дискретизации,
превышала, по крайней мере, в 2 раза
наибольшую частоту, соответствующую
нулю передаточной функции прототипа.
Расчет рекурсивных цф по методу билинейного z-преобразования
Синтез ЦФ по этому методу относится к основным для рекурсивных фильтров
В основу метода
положен переход от передаточной функции
аналогового фильтра-прототипа
к системной (передаточной) функции ЦФ
путем замены
на
.
В общем, величины
и
связаны соотношением
, (1)
которое вводится
при переходе от непрерывного преобразования
Лапласа к дискретному z-преобразованию.
Здесь
- интервал дискретизации импульсной
характеристики фильтра-прототипа;
- комплексная частота, являющаяся
независимой переменной в выражении
передаточной функции прототипа;
- комплексная переменная в выражении
системной функции ЦФ.
Как передаточная
функция
фильтра-прототипа,
так и системная функция
ЦФ являются дробно-рациональными
выражениями. Переход от первой ко второй,
и наоборот с помощью нелинейной
зависимости (1) является невозможным,
так как и та и другая являются линейными
функциями. Однако, если выражение (1)
прологарифмировать, далее представить
,
и взять первый член разложения в ряд
Тейлора функции
,
то получим линейную зависимость
от
:
. (2)
С помощью этой линейной замены можно получить системную функцию ЦФ в виде дробно-рационального выражения. Метод синтеза ЦФ, основанный на получении из путем замены (2), называют билинейным -преобразованием. Из-за грубого ограничения ряда Тейлора переход от к является не вполне адекватным, что сказывается на расхождении частотных шкал частотных характеристик аналогового прототипа и ЦФ. На практике возможны поправки параметров прототипа с тем, чтобы спроектированный ЦФ имел частотную характеристику, совпадающую с заданной по некоторым характерным частотам, соответствующим максимумам и минимумам, нулям и т.п.
Рассмотрим
этот вопрос подробнее. Формула (1),
являющаяся основной при выполнении
-преобразований,
применяется также для получения частотной
характеристики ЦФ
по известной его системной функции
путем подстановок
и
,
где
- круговая частота. При этом не имеет
значения, по какому методу осуществлялся
синтез ЦФ.
Преобразуем
формулу (2) с тем, чтобы выразить величину
через
.
Получим
.
После подстановки в последнюю формулу
получим
.
(3)
При замене (3)
в выражении для
ЦФ, спроектированного по методу
билинейного
-преобразования
частотная характеристика ЦФ
с ее характерными частотами будет
совпадать с частотной характеристикой
прототипа; однако, как уже говорилось,
для получения частотной характеристики
ЦФ следует применять точную подстановку
,
которая и приводит к рассогласованию
частот.
Выражения
и
позволяют осуществить переход от
комплексной
-плоскости
к комплексной
-плоскости.
Для функции
при
каждый участок мнимой оси
-плоскости
в интервале
равномерно отображается в единичную
окружность
-плоскости,
так что вся мнимая ось в пределах
отображается на единичную окружность
-плоскости
бесконечное число раз. Однако для функции
область
-плоскости
один раз неравномерно отображается на
нижнюю часть, а область
- на верхнюю часть единичной окружности
в
-плоскости.
Следовательно, вся мнимая ось
-плоскости
только однократно укладывается на
единичной окружности
-плоскости.
При
характер отображения не изменится,
изменится только масштаб угловой
скорости
при переходе от
-плоскости
к
-плоскости.
При указанном
переходе изменение аргумента
для функции
осуществляется линейно (равномерно) в
зависимости от частоты
,
что соответствует равномерному вращению
единичного вектора в плоскости
.
Изменение же аргумента
функции
осуществляется по закону арктангенса,
который при изменении
частоты в пределах
изменяется от 0 до
,
что соответствует неравномерному
вращению вектора в зависимости от
.
Описанные явления и приводят к расхождению частот при одинаковых значениях АЧХ фильтра-прототипа и ЦФ, называемому по-другому расхождением частотных шкал. Приравняв аргументы рассматриваемых последних комплексных функций (рис. 1) получим зависимости, связывающие частоты прототипа (индекс p) и синтезируемого ЦФ (индекс z)
или
. (4)
Рис.1. Линейный и нелинейный аргументы -функций