Синтез цф по заданной импульсной характеристике
Полностью
задать импульсную характеристику
рекурсивного фильтра в виде числовой
последовательности практически
невозможно из-за ее бесконечной
протяженности вправо. Однако ее можно
задать в виде некоторой ограниченной
по циклам дискретной функции
,
которая будет являться как бы началом
самой импульсной характеристики. Сама
импульсная характеристика
в пределах
может совпадать с функцией
,
но может и несколько отличаться от нее;
во втором случае отклонение
от
должно каким-либо образом задаваться.
Рассмотрим метод, близкий к описанному в ранее публиковавшихся источниках, как аппроксимация Паде.
Числовые значения импульсной характеристики рекурсивного ЦФ можно определить с помощью полученных ранее формул (радел «Получение импульсной характеристики рекурсивногоЦФ»):
,
,
,
(1)
.
В общем виде
формула для получения значений
имеет следующий вид
.
(2)
Синтез ЦФ по заданной импульсной характеристике сводится к решению обратной задачи, т.е. к задаче нахождения коэффициентов ЦФ и по заданным начальным значениям импульсной характеристики. Расчеты можно производить как по набору формул (1), так и по формуле (2). Однако необходимо сделать некоторые оговорки.
Ограничим
число уравнений системы (1) числом
заданных значений последовательности
,
т.е., числом
.
По условию физической реализуемости
ЦФ
.
Дать определение
и
.
Условие
исходит из требования простоты
рекурсивного ЦФ (небольшого количества
параметров
и
),
обеспечивающей устойчивость ЦФ и малое
время отклика ЦФ на поступающее
воздействие. Если выбрать число параметров
ЦФ, исходя из числа заданных отсчетов
последовательности
,
то наиболее благоприятным будет выбор,
когда
,
а при четном
- дополнительно, когда
.
В этом случае система (3) становится
разрешимой относительно
и
при заданных
.
Для
следует принимать
и для
- соответственно
.
Произведем замену на в системе (1) и учтем сделанные выше оговорки. Получим
,
,
,
… … …
,
,
(3)
… … …
,
,
… … …
Последние
уравнения системы (3) с индексами от
до
при
составляют разрешимую линейную систему
относительно неизвестных
.
В матричной форме эту систему уравнений
можно записать так
,
(4)
где
- вектор из элементов
,
левой части уравнения (3),
- матрица из элементов
правой части уравнения (3),
- вектор неизвестных
,
.
Указанные образования представляются в форме:
,
,
(5)
Решение (4) предстанет в следующем виде
.
(4а)
В результате будут определены параметры рекурсивной части ЦФ .
Для определения параметров трансверсальной части воспользуемся первыми уравнениями из системы (3), которые тоже представим в матричной форме, для чего коэффициенты перенесем в левую часть уравнений, а коэффициенты - из левой части в правую.
Сначала получим
,
,
,
(6)
… … …
;
или в матричной форме
.
(7)
Здесь
,
,
.
(8)
Системы
уравнений (3) и (6) или матричные уравнения
(4) и (7) могут быть решены относительно
коэффициентов
и
ЦФ, при этом импульсная характеристика
будет полностью с точностью проводимых
расчетов совпадать с заданной
последовательностью
.
При выборе числа параметров ЦФ, когда
,
система уравнений (3) становится избыточной
и может быть решена приближенно методами
последовательных приближений. В качестве
критерия сравнения результатов решения
указанных уравнений методом последовательных
приближений можно воспользоваться
среднеквадратической ошибкой разницы
.
Последовательные вычисления
по формулам (1) или (2) после очередного
определения коэффициентов
и
должны, в общем, приводить к уменьшению
упомянутой ошибки.
Величину
допустимой ошибки
задают заранее. Расчеты повторяются
до получения заданной точности.