1.5. Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин

Законом распределения вероятностей непрерывной случайной величины является функция , где - значение величины.

Функция распределения является универсальной характеристикой случайной величины. Она существует и для дискретных случайных величин.

Запишем функцию распределения для числа появлений решки при трёх бросаниях монеты:

Построим график –

Примеры распределения непрерывных случайных величин:

а) равномерное распределение –

б) показательное распределение –

в) нормальное распределение –

С помощью функции распределения можно найти вероятность того, что случайная величина появится в интервале от a до b:

.

Производная от функции распределения называется плотностью распределения вероятностей, т.е.

.

Примеры плотностей распределения случайных величин и их графики:

а) равномерное распределение –

б) показательное распределение –

в) нормальное распределение –

1.6. Числовые характеристики случайных величин

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма всех произведений её значений на их вероятности:

.

Для непрерывной –

.

Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по формуле:

.

Для непрерывной –

.

Математическое ожидание и дисперсия характеризуют важные черты распределения: его положение и степень разбросанности.

Для биномиального распределения -

, .

Для нормального распределения –

, .

Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением:

.

1.7. Контрольные задания по теории вероятностей

В-1

Задание 1. В ящике находятся 4 одинаковых пар перчаток чёрного цвета и 3 одинаковых пар перчаток бежевого цвета. Найти вероятность того, что две наудачу извлечённые перчатки образуют пару.

Задание 2. В урне находятся 3 шара белого цвета и 4 шара чёрного цвета. Наудачу по одному извлекаются 3 шара и после каждого извлечения возвращаются в урну. Найти вероятность того, что среди извлечённых шаров окажется:

а) ровно два белых шара;

в) не менее двух белых шаров.

Задание 3. В урне находятся 5 белых и 3 чёрных шара. Последовательно извлекаются наудачу три шара без их возвращения в урну. Найти вероятность того, что третий по счёту шар окажется белым.

Задание 4. Закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:

	-2	-1	0	2	5
	0.2	0.1	0.2

Найти вероятности , и дисперсию , если математическое ожидание .

В-2

Задание 1. В ящике находятся 3 одинаковых пар перчаток чёрного цвета и 4 одинаковых пар перчаток бежевого цвета. Найти вероятность того, что две наудачу извлечённые перчатки образуют пару.

Задание 2. В урне находятся 6 шара белого цвета и 2 шара чёрного цвета. Наудачу по одному извлекаются 3 шара и после каждого извлечения возвращаются в урну. Найти вероятность того, что среди извлечённых шаров окажется:

а) ровно два белых шара;

в) не менее двух белых шаров.

Задание 3. В урне находятся 4 белых и 5 чёрных шара. Последовательно извлекаются наудачу три шара без их возвращения в урну. Найти вероятность того, что третий по счёту шар окажется белым.

Задание 4. Закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:

	-2	-1	0	3	4
	0.2	0.1	0.2

Найти вероятности , и дисперсию , если математическое ожидание .

В-3

Задание 1. В ящике находятся 6 одинаковых пар перчаток чёрного цвета и 4 одинаковых пар перчаток бежевого цвета. Найти вероятность того, что две наудачу извлечённые перчатки образуют пару.

Задание 2. В урне находятся 2 шара белого цвета и 7 шара чёрного цвета. Наудачу по одному извлекаются 3 шара и после каждого извлечения возвращаются в урну. Найти вероятность того, что среди извлечённых шаров окажется:

а) ровно два белых шара;

в) не менее двух белых шаров.

Задание 3. В урне находятся 4 белых и 5 чёрных шара. Последовательно извлекаются наудачу три шара без их возвращения в урну. Найти вероятность того, что третий по счёту шар окажется белым.

Задание 4. Закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:

	-2	-1	0	1	3
	0.2	0.1	0.2

Найти вероятности , и дисперсию , если математическое ожидание .

В-4

Задание 1. В ящике находятся 3 одинаковых пар перчаток чёрного цвета и 7 одинаковых пар перчаток бежевого цвета. Найти вероятность того, что две наудачу извлечённые перчатки образуют пару.

Задание 2. В урне находятся 3 шара белого цвета и 7 шара чёрного цвета. Наудачу по одному извлекаются 3 шара и после каждого извлечения возвращаются в урну. Найти вероятность того, что среди извлечённых шаров окажется:

а) ровно два белых шара;

в) не менее двух белых шаров.

Задание 3. В урне находятся 3 белых и 7 чёрных шара. Последовательно извлекаются наудачу три шара без их возвращения в урну. Найти вероятность того, что третий по счёту шар окажется белым.

Задание 4. Закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:

	-2	-1	0	3	4
	0.2	0.1	0.2

Найти вероятности , и дисперсию , если математическое ожидание .

В-5

Задание 1. В ящике находятся 4 одинаковых пар перчаток чёрного цвета и 8 одинаковых пар перчаток бежевого цвета. Найти вероятность того, что две наудачу извлечённые перчатки образуют пару.

Задание 2. В урне находятся 4 шара белого цвета и 8 шара чёрного цвета. Наудачу по одному извлекаются 3 шара и после каждого извлечения возвращаются в урну. Найти вероятность того, что среди извлечённых шаров окажется:

а) ровно два белых шара;

в) не менее двух белых шаров.

Задание 3. В урне находятся 4 белых и 8 чёрных шара. Последовательно извлекаются наудачу три шара без их возвращения в урну. Найти вероятность того, что третий по счёту шар окажется белым.

Задание 4. Закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:

	-2	-1	0	2	6
	0.2	0.1	0.2

Найти вероятности , и дисперсию , если математическое ожидание .