Математика Методические указания для студентов заочной формы обучения специальности “Менеджмент организации”

Выборг

2013

Составитель: ст. преп. В.В.Суханов

СОДЕРЖАНИЕ

1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ……………………………………….2

1.1. Определение вероятности…………………………………

1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей…………

1.3. Полная вероятность. Формула Байеса……………………

1.4. Законы распределения вероятностей дискретных

случайных величин…………………………………………………...

1.5. Законы распределения вероятностей непрерывных

случайных величин…………………………………………………...

1.6. Числовые характеристики случайных величин………….

1.7. Контрольные задания по теории вероятностей………….

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

2.1. Статистическое распределение выборки………………...

2.2 Характеристики вариационного ряда…………………….

2.3. Точечные оценки параметров распределения…………..

2.4. Интервальные оценки параметров распределения………

2.5. Элементы корреляционного анализа……………………..

2.6. Проверка статистических гипотез………………………..

2.7. Контрольные задания по математической статистике….

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ…………….

3.1. Задача линейного программирования……………………

3.2. Транспортная задача………………………………………

3.3. Матричные игры…………………………………………..

3.4. Сетевое планирование…………………………………….

3.5. Контрольные задания по математическим методам

в экономике……………………………………………………………

4. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ………………

4.1. Модель межотраслевого баланса…………………………

4.2. Функция полезности………………………………………

4.3. Кривые безразличия………………………………………

4.4. Производственная функция………………………………

4.5. Коэффициент эластичности………………………………

4.6. Функция спроса и предложения………………………….

4.7 Контрольные задания по экономико-математическим

моделям………………………………………………………………..

Методические указания предназначены для студентов заочной формы обучения. Они содержат общие методические рекомендации по изучению математических дисциплин: теория вероятностей и математическая статистика, математические методы в экономике, экономико-математические модели. Также приведены контрольные работы и примерные решения заданий.

1. Теория вероятностей

Определение вероятности.

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Полная вероятность. Формула Байеса.

Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин.

Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин.

Числовые характеристики случайных величин.

1.1. Определение вероятности

В основе теории вероятностей лежит понятие случайного эксперимента. Случайный эксперимент (опыт, испытание, наблюдение) есть процесс, при котором возможны различные исходы, так что заранее нельзя предсказать, каков будет результат. Нас будет интересовать множество возможных, взаимно-исключающих друг друга исходов эксперимента. Это множество называют пространством элементарных событий и обозначают .

Рассмотрим однократное бросание игральной кости. В этом эксперименте возможны следующие исходы: появление единицы или двойки, или тройки и так далее. Так как они взаимно исключают друг друга, то множество имеет вид:

.

Любое подмножество множества называют событием. Событие происходит тогда и только тогда, когда происходит один из исходов, образующих это событие.

Так как множество есть подмножество , то является событием. Событие можно определить словесно:

- “появление чётного числа”.

Множество и пустое множество являются событиями. Событие происходит всегда. Его называют достоверным. Пустое множество называют невозможным событием. Оно никогда не происходит.

Пусть и события. Объединение называют суммой событий . Событие происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий или . Пересечение называют произведением событий . Событие происходит тогда и только тогда, когда происходит одновременно событие и .

Пусть при однократном бросании игральной кости - “появление чётного числа”, - “появление числа кратного трём”. Тогда , .

События и называют несовместными, если невозможное событие.

Дополнение называют противоположным событием к событию и обозначают . Событие происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие . События и несовместные.

Предположим, что один и тот же эксперимент можно повторить достаточное число раз. Пусть при испытаниях событие появилось раз. Число называют частотой появления события . Отношение - относительной частотой появления события . Результаты наблюдений обычно таковы, что при увеличении числа испытаний относительная частота приближается к некоторому числу. Это число является вероятностью события и обозначается .

Желательно вероятность события определять из условий испытаний.

Пусть пространство элементарных событий конечно:

.

Будем считать, что известны. Тогда вероятность события равна:

.

Если , то , где - число исходов, приводящих к событию .

Отметим основные свойства вероятности.

а) .

б) .

в) , где - невозможное событие.

г) .

Задача 1. Из урны, в которой находится 4 белых, 9 чёрных и 7 красных шаров, наугад вынимают один шар. Какова вероятность появления белого шара?

Решение.

Рассмотрим множество всех исходов испытания:

,

где - -ый белый шар, - -ый чёрный шар, - -ый красный шар.

Число всех исходов равно 20, т.е. .

Пусть событие - появление белого шара. Рассмотрим множество исходов, благоприятствующих появлению события :

.

Число благоприятствующих исходов равно 4, т.е. .

Тогда

.

Задача 2. Игральный кубик бросают два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков окажется равной 8?

Решение.

Рассмотрим множество всех исходов испытания:

.

Всего исходов .

Пусть событие - сумма выпавших очков равна 8. Рассмотрим множество исходов, благоприятствующих появлению события :

.

Всего благоприятствующих исходов .

Тогда

.