Критерий Михайлова
В 1938 году советским ученым А.В.Михайловым был предложен графоаналитический критерий устойчивости, названный в его честь. Данный критерий позволяет не только судить об устойчивости, но и наглядно оценивать степень влияния параметров системы на ее устойчивость.
Рассмотрим основные
положения критерия Михайлова. Пусть
характеристический полином системы
имеет вид:
(45)
Предположив, что корни нам известны, воспользуемся теоремой Виета. Тогда выражение (45) запишется как:
,
(46)
где
–корни
характеристического уравнения.
Рассмотрим
один из сомножителей:
Воспользуемся
комплексной плоскостью (рис.13). Пусть
-
вещественный отрицательный корень
.
j
j
(р-рi)
(р-рi⃰
)
p=jω
pi
pi
0
Рис.13 к пояснению критерия Михайлова
Тогда
на этой плоскости корень pi
изобразиться в виде вектора. Поскольку
р независимая переменная, можно задать
любое ее значение. В том, каким выбрать
вектор р, и заключается догадка Михайлова.
Необходимо было выбрать вектор р, чтобы
вектор (p-pi
) каким-то образом отразил бы тот факт,
что корень рi
лежит в левой, а не в правой полуплоскости.
На первый взгляд, кажется целесообразным
выбрать для этого нечто среднее на
границе между левой и правой полуплоскостями.
Михайлов выбирает вектор р "посередине":
.
Тогда вектор (р-рi.)
расположен так, как показано на рис.
I3,б.
Для
имеем другой вектор
,
расположенный в правой полуплоскости.
Следующая догадка Михайлова заключалась
в том, чтобы менять величину
и рассматривать вектор (р-рi)
"в движении". Пусть ω меняется от
до
,
тогда вектор (р-рi)
будет поворачиваться по часовой стрелке,
а вектор
против часовой стрелки. Причем, для
первого поворот составит +,
а для второго -
радиан,
считая, как принято, за положительное
направление - движение против часовой
стрелки.
Формализуем
установленные факты. Заменив в (46) р на
,
получим
(47)
Каждый
из сомножителей (
)
представляет собой комплексное выражение
и может быть представлен в показательной
форме записи:
(48)
При изменении от до для случая, когда все корни лежат в левой полуплоскости, будем иметь
(49)
Отсюда
можно сформулировать критерий Михайлова
следующим образом: для того, чтобы АСР,
имеющая характеристическое уравнение
n
- го
порядка, была устойчива, необходимо и
достаточно, чтобы при изменении
от
до
изменение аргумента вектора
было равно n.
В этом
случаи, когда характеристическое
уравнение системы содержит из n
корней m
корней
с положительной вещественной частью,
это найдет отражение в
,
которое будет меньшим, чем
n
(50)
На практике использование критерия Михайлова сводится к следующим шагам:
I.Записывается характеристический многочлен системы
2. p заменяется на
З.На комплексной плоскости строится вектор для различных значений >0.
Замечание: при изменении от до представляет собой симметричную относительно оси абсцисс кривую. Поэтому для уменьшения трудоемкости построений и расчетов рассматривают лишь одну ветвь для >0 , меняющихся от 0 до .При этом выражение (50) используется в виде
(51)
4. Соединяя полученные при различных точки на комплексной плоскости, плавной кривой, получается так называемый годограф Михайлова.
Примеры годографов для систем показаны на рис.14.
jV
n=1 jV jV
2
n=2
n=5
U n=4 U U
n=3 n=4
1
а б в
Рис.14, Примеры: устойчивых - а, неустойчивых- б АСР и АСР, находящихся на границах устойчивости - в: колебательной -1 и апериодической -2 границах устойчивости.
Кривая I на рис.14в соответствует наличию мнимых корней или, как говорят, колебательной границе устойчивости, а кривая 2 (пунктирные линии)- наличию вещественного нулевого корня- апериодической границе устойчивости. Как следует из рассмотрения рис.14 и формулы (51) у устойчивых систем ;годограф Михайлова последовательно пересекает а квадрантов, что и служит правилом для суждения об устойчивости. При изменении параметров систем годограф Михайлова деформируется. При этом меняется его расположение относительно системы координат, что само по себе может говорить о степени влияния изменения того или иного параметра на устойчивость. Последнее обстоятельство кажется особенно важным при решении задач проектирования систем.