7. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).

A = p_обс • λ = 0.844 • 0.5 = 0.422 заявок/мин.

8. Среднее время простоя смо.

t_пр = p_отк • t_обс = 0.156 • 5.8 = 0.904 мин.

Вероятность образования очереди.

Вероятность отсутствия очереди.

p = 1 - p_оч = 1 - 0.5 = 0.5

9. Среднее число заявок, находящихся в очереди.

10. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).

11. Среднее число обслуживаемых заявок.

L_обс = ρ • Q = 2.9 • 0.844 = 2.448 ед.

12. Среднее число заявок в системе.

L_CMO = L_оч + L_обс = 0.956 + 2.448 = 3.405 ед.

13. Среднее время пребывания заявки в СМО.

Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ • p₁ = 0.078 заявок в мин.

Номинальная производительность СМО: 3 / 5.8 = 0.517 заявок в мин.

Фактическая производительность СМО: 0.422 / 0.517 = 82% от номинальной производительности.

Задание 3. Системы массового обслуживания с очередью неограниченной длины

Интенсивность посещения телефонного узла, состоящего из трех телефонных аппаратов, составляет 0,25 человек в минуту; средняя продолжительность одного телефонного разговора составляет 10 минут. Если все телефоны заняты, клиент становится в очередь и ожидает обслуживания.

Найти вероятность того, что клиенты отсутствуют (все каналы обслуживания свободны), вероятность того, что заняты все телефоны, вероятность отказа в обслуживании, относительную и абсолютную пропускные способности телефонного узла.

Решение

1. Интенсивность нагрузки. ρ = λ • t_обс = 0.25 • 10 = 2.5 Интенсивность нагрузки ρ=2.5 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов). Следовательно, 15.1% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t_пр = 9.1 мин. Вероятность того, что обслуживанием: занят 1 канал: p₁ = ρ¹/1! p₀ = 2.5¹/1! • 0.151 = 0.377 заняты 2 канала: p₂ = ρ²/2! p₀ = 2.5²/2! • 0.151 = 0.472

4. Вероятность отказа (Доля заявок, получивших отказ).

Значит, 47% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

5. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

p_отк + p_обс = 1

Относительная пропускная способность:

Q = p_обс.p_обс = 1 - p_отк = 1 - 0.472 = 0.528

Следовательно, 53% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.

6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).

n_з = ρ • p_обс = 2.5 • 0.528 = 1.321 канала.

Среднее число простаивающих каналов.

n_пр = n - n_з = 2 - 1.321 = 0.7 канала.

7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, система на 70% занята обслуживанием.

8. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).

A = p_обс • λ = 0.528 • 0.25 = 0.132 заявок/мин.