Вариант 1

Задание 1. Системы массового обслуживания с отказами

Анализируется работа вычислительного центра (ВЦ) с тремя взаимозаменяемыми компьютерами для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность 1 задача в час. Средняя продолжительность обслуживания 1,8 часа. Поток заявок на решение задач и поток обслуживания этих заявок являются простейшими. Буфер ожидания отсутствует.

Определить показатели эффективности работы СМО (ВЦ). Определить, сколько компьютеров надо дополнительно приобрести, чтобы увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.

Решение:

Исчисляем показатели обслуживания для одноканальной СМО:

Интенсивность потока обслуживания:

1. Интенсивность нагрузки.

ρ = λ • t_обс = 1 • 1.8 = 1.8

Интенсивность нагрузки ρ=1.8 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

2. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя канала).

Следовательно, 36% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t_пр = 21.4 мин.

3. Доля заявок, получивших отказ (вероятность отказа).

p_отк = 1 - p₀ = 1 - 0.357 = 0.64

Значит, 64% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

4. Относительная пропускная способность.

Доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени:

Q = p₀ = 0.357

5. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).

A = Q • λ = 0.357 • 1 = 0.357 заявок/час.

6. Среднее время простоя СМО.

t_пр = p_отк • t_обс = 0.64 • 1.8 = 1.157 час.

7. Среднее число обслуживаемых заявок.

L_обс = ρ • Q = 1.8 • 0.357 = 0.643 ед.

Число заявок, получивших отказ в течение час: λ • p₁ = 0.64 заявок в час.

Номинальная производительность СМО: 1 / 1.8 = 0.556 заявок в час.

Фактическая производительность СМО: 0.357 / 0.556 = 64% от номинальной производительности.

Задание 2. Системы массового обслуживания с очередью ограниченной длины

Интенсивность посещения телефонного узла, состоящего из трех телефонных аппаратов, составляет 0,5 человек в минуту; средняя продолжительность одного телефонного разговора составляет 5,8 минут; посетитель покидает телефонный узел, если в очереди находится 3 человека.

Требуется определить значения характеристик СМО при исходных данных, а также найти оптимальное количестве телефонов (чтобы обслуживалось более 95% заявок).

Решение:

Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО:

Интенсивность потока обслуживания:

1. Интенсивность нагрузки.

ρ = λ • t_обс = 0.5 • 5.8 = 2.9

Интенсивность нагрузки ρ=2.9 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

Поскольку 2.9<3, то процесс обслуживания будет стабилен.

2. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 4.24% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t_пр = 2.5 мин.

Вероятность того, что обслуживанием:

занят 1 канал:

p₁ = ρ¹/1! p₀ = 2.9¹/1! • 0.0424 = 0.123

заняты 2 канала:

p₂ = ρ²/2! p₀ = 2.9²/2! • 0.0424 = 0.178

заняты 3 канала:

p₃ = ρ³/3! p₀ = 2.9³/3! • 0.0424 = 0.172

3. Вероятность отказа (Доля заявок, получивших отказ).

Значит, 16% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

4. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: p_отк + p_обс = 1

Относительная пропускная способность: Q = p_обс.

p_обс = 1 - p_отк = 1 - 0.156 = 0.844

Следовательно, 84% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.

5. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).

n_з = ρ • p_обс = 2.9 • 0.844 = 2.448 канала.

Среднее число простаивающих каналов.

n_пр = n - n_з = 3 - 2.448 = 0.6 канала.

6. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, система на 80% занята обслуживанием.