2. Возможны три случая: 1) луч вв1 проходит внутри угла авс; 2) луч вв1 совпадает с одной из сторон угла авс; 3) луч вв1 проходит вне угла авс.

3. Рассмотрим первый случай. Так как АВ = А₁В₁, то ∆АВВ₁ – равнобедренный 

 АВВ₁ = АВ₁В (углы при основании). Так как СВ = СВ₁, то ∆СВВ₁ – равнобедренный  СВВ₁ = СВ₁В (углы при основании).

4. Рассмотрим второй случай. Пусть точка СВВ₁. Так как АВ = А₁В₁, то ∆АВВ₁ – равнобедренный   АВВ₁ = АВ₁В (углы при основании). Так как СВ = СВ₁, то в ∆АВВ₁ АС – медиана.

3. Рассмотрим третий случай. Так как АВ = А₁В₁, то ∆АВВ₁ – равнобедренный 

 АВВ₁ = АВ₁В (углы при основании). Так как СВ = СВ₁, то ∆СВВ₁ – равнобедренный  СВВ₁ = СВ₁В (углы при основании).

2. Деление отрезка на п равных частей. Доказательство теоремы Фалеса.

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные между собой отрезки и на другой его стороне.

Дано: AOB; A₁B₁ II A₂B₂ II A₃B₃; A₁A₂ = A₂A₃.

Доказать: В₁В₂ = В₂В₃.

Доказательство:

1. Дополнительное построение: Через точку в2 проведем прямую fe II oa, такую, что

2. Полученные четырехугольники fa1a2b2 и еa3a2b2 являются параллелограммами по определению (противоположные стороны попарно параллельны). По свойству параллелограмма:

3. Рассмотрим ∆ fb1b2 и ∆в2b3е.

4. Из ∆ FB₁B₂ = ∆В₂B₃Е  B₁B₂ = В₂B₃.

Замечание: В условии теоремы Фалеса вместо сторон угла можно взять любые две прямые, при этом заключение теоремы будет то же.

Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные между собой отрезки и на другой прямой.

Теорема. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Дано: AOB; A₁B₁ II A₂B₂; A₁B₁∩AO={A₁}; A₁B₁∩BO={B₁}; A₂B₂∩AO={A₂}; A₂B₂∩BO={B₂}.

Доказать: OA₁:OA₂ = OВ₁:OB₂.

Доказательство:

1. Пусть существует отрезок длины х, который укладывается целое число раз на отрезке OA₁ и на отрезке OA₂. Тогда OA₁= nx, OA₂ = mx.

2. Разобьем отрезок oa2 на m равных частей длины х. При этом точка a1 будет одной из точек деления.

3. Проведем через точки деления прямые, параллельные прямой a1b1. Их получится столько, сколько точек деления на отрезке oa1.

4. По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок OB₂ на равные отрезки некоторой длины у. Имеем на отрезке OB₂ m равных отрезков длины у (OB₂ = mу), точка B₁ является точкой деления отрезка OB₂ на равные части, на отрезке OB₁ укладывается n равных отрезков длины у (OB₁ = ny).

5. Тогда

Деление отрезка на n равных частей. Разделить данный отрезок  AB на n равных частей.Построение. Пусть [ AB ] – данный отрезок. Проведем из точки A луч a , не содержащий отрезок AB . Отложим от точки A на построенном луче равные отрезки:  AA ₁,  A ₁ A ₂, ... ,  A _n  – 1 A _n . Соединим точки A _n и B . Проведем через точки A ₁,  A ₂, ... ,  A _n  – 1прямые, параллельные прямой A _n B Они пересекают отрезок AB в точках  B ₁,   B ₂, ... ,   B _n  – 1. Отрезки AB ₁,  B ₁ B ₂, ... ,  B _n  – 1 B – искомые отрезки.

Доказательство

Равенство отрезков AB 1  =  B 1 B 2  = ... =  B n  – 1 B следует непосредственно из теоремы Фалеса.