Уравнение окружности (вывод). Взаимное расположение прямой и окружности.
У
равнение
линии на плоскости.
Пусть
на плоскости задана прямоугольная
система координат Оху и некоторая
линия L.
Уравнение
с двумя переменными х и у называется
уравнением линии L,
если этому уравнению удовлетворяют
координаты любой точки линии L
и не удовлетворяют координаты никакой
точки, не лежащей на этой линии.
Уравнение
окружности на плоскости.
Выведем уравнение окружности радиуса
r
с центром С(х0;
у0)
в заданной прямоугольной системе
координат. Расстояние от произвольной
точки В(х; у) до точки С определяется
по формуле
Если
В лежит на данной окружности, то
Если
В не лежит на данной окружности, то
Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке С имеет вид:
В частности, уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат (точке О) имеет вид:
Исследуем взаимное расположение окружности с центром в точке О и прямой.
1
)
Прямая p
пересекает окружность в двух точках
и называется секущей.
При этом расстояние от центра
окружности до секущей p
OK
< R.
Если
расстояние от центра окружности до
прямой меньше радиуса окружности,
то прямая и окружность имеют две
общие точки.
2) Прямая n касается окружности в одной точке В и называется касательной. При этом расстояние от центра окружности до касательной n OB = R. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.
3) Прямая m не имеет общих точек с окружностью. При этом расстояние от центра окружности до прямой m OC > R. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.
Задача по теме «Решение треугольника».
Билет № 20
1. Теорема Пифагора (прямая и обратная). Пифагоровы тройки чисел, египетский треугольник.
Т
еорема
Пифагора.
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов
катетов:
Доказательство:
1). Пусть т – прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой с.
2). Построим квадрат K со стороной a + b. На сторонах квадрата отметим точки D, E, F, G так, чтобы отрезки DE, EF, FG, GD отсекали от квадрата K прямоугольные треугольники Т1, Т2, Т3 и Т4 с катетами a и b.
3). Все прямоугольные треугольники Т1, Т2, Т3 и Т4 равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т. Следовательно DE = EF = FG = GD.
4). Докажем, что четырехугольник defg является квадратом.
