3. Задача по теме «Подобие».

Билет №1

1. Определение и свойства равнобедренного треугольника. Доказательство теоремы о свойстве медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.

Определение Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья сторона – основанием. Общая вершина двух равных (боковых) сторон называется вершиной равнобедренного треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника.

Т еорема 1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС. Доказать: А = С.

Доказательство:

1. Дополнительное построение. Проведем отрезок BD – биссектрису АВС.

2. ABD = DBC = (по свойству биссектрисы).

4. Из ∆ABD = ∆DBC  A = C.

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является его биссектрисой и высотой.

Д ано: ∆АВС; АВ = ВС; ВD – медиана.

Доказать: BD – биссектриса, BD – высота.

Доказательство:

2. Из ∆ABD = ∆DBC  ABD = DBC  BD – биссектриса.

3. Из ∆ABD = ∆DBC  ADB = CDB.

4. ADB + CDB = 180. 2ADB = 180. ADВ = ВDC = 90.

5. ADВ = ВDC = 90.  BD  AC  BD – высота.

2. Определение вектора, его длины. Равные и противоположные векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

Рассмотрим произвольный отрезок. На нем можно указать два направления: от одного конца к другому и наоборот.

Чтобы выбрать одно из направлений, один конец отрезка назовем началом, а другой – концом и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу.



В

Конец вектора

А Вектором, или направленным отрезком,

Начало вектора называется отрезок вместе с его направлением.

На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Векторы обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например . Первая буква обозначает начало вектора, вторая – конец. Векторы часто обозначают и одной латинской буквой со стрелкой над ней:

Любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом, а на рисунке такой вектор изображается одной точкой. Если, например, точка, изображающая нулевой вектор, обозначена буквой М, то данный нулевой вектор можно обозначить . Нулевой вектор обозначается символом .

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Длина вектора ( ) обозначается так: . Длина нулевого вектора считается равной нулю: .

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

 М A

B F

 D E

C

Векторы (вектор нулевой) коллинеарные, а векторы , а также не коллинеарны.

Если два ненулевых вектора и коллинеарны, то они могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно. В первом случае векторы и называются сонаправленными, а во втором – противоположно направленными.

Два ненулевых вектора, лежащие на параллельных прямых, называются сонаправленными (противоположно направленными) если их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, проходящей через начала.

Если векторы и сонаправлены, то пишут:  , а если они противоположно направлены, пишут:  .

Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому нулевой вектор не имеет какого-либо определенного направления. Иначе говоря, любое направление можно считать направлением нулевого вектора. Условимся считать, что нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

Ненулевые коллинеарные векторы обладают следующими свойствами:

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Пусть - два вектора. Отметим произвольную

B точку А и отложим от этой точки вектор ,

равный . Затем от точки В отложим вектор , равный .

A C

Вектор называется суммой векторов . Сумма векторов и обозначается так:

Суммой векторов называется вектор , началом которого является начало вектора , конечной точкой будет конец вектора , отложенного от конца вектора .

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Cправедливо равенство .

Правило треугольника можно сформулировать также следующим образом: если А, В и С – произвольные точки, то . Это равенство справедливо для произвольных точек А, В и С, в частности, в том случаае, когда две из них или все три совпадают.

Рассмотрим свойства сложения векторов.

Теорема. Для любых векторов , и справедливы равенства:

1. + = + (переместительное свойство)

2. ( + ) + = + ( + ) (сочетательное свойство)

Доказательство.

1. Рассмотрим случай, когда векторы не коллинеарны.

B C От произвольной точки А отложим векторы

и на этих векторах построим

параллелограмм ABCD. По правилу треугольника

. Аналогично

. Отсюда следует, что

А D + = +

B C 2. От произвольной точки А отложим

вектор , от точки В – вектор ,

а от точки С – вектор .

Применяя правило треугольника, получим:

A D

( + ) + =

+ ( + ) =

 ( + ) + = + ( + ).

При доказательстве свойства 1 мы обосновали так называемое правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов: чтобы сложить неколлинеарные векторы и , нужно отложить от какой-нибудь точки А векторы и и построить параллелограмм ABCD. Тогда вектор равен + . Правило параллелограмма часто используется в физике, например при сложении двух сил.

Сложение нескольких векторов производится следующим образом: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма складывается с третьим вектором и т.д. Из закона сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

Правило построения суммы нескольких

векторов называется правилом много -

угольника.

Правило многоугольника можно

сформулировать также следующим

образом: если А₁, А₂, …, А_n -

произвольные точки плоскости, то

.

Это равенство справедливо для

любых точек А₁, А₂, …, А_{n ,} в частности, в том случае, когда некоторые из них совпадают. Например, если начало первого совпадает с концом последнего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.

+ + + + =

Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .