2. Построение касательной к окружности (два случая).

Возможны три случая:  а) точка С лежит вне круга с центром А и радиусом АВ;  б) точка С лежит в круге;  в) точка С лежит на окружности.  Случай а). Задача имеет два решения.

1. Строим серединный перпендикуляр к отрезку АС.

2. Находим середину отрезка АС (точка D).

3. Строим окружность с центром в точке D и радиусом AD.

4. Находим точки пересечения окружностей E и F.

5. Строим прямые CF и EF. Это искомые касательные.

 

Случай б). Задача не имеет решений. Случай в). Задача имеет единственное решение.

1. Строим отрезок АС.

2. Строим перпендикуляр к отрезку АС, проходящий через точку С.

3. Задача по теме « Четырехугольники».

Билет № 17

1. Вывод формулы Герона.

Формула, устанавливающая связь между длинами сторон произвольного треугольника и его площадью, называется формулой Герона.

В треугольнике АВС:

ВС = а; АВ = с; АС = b;

AE  BC, AE = h_a;

AE∩BC = {E}; CE = x; BE = a─x.

По теореме Пифагора из САЕ:

По теореме Пифагора из ВАЕ:

По аналогии запишем:

Найдем площадь АВC:

2. Свойство чевианы о разбиении площади треугольника на части. Теоремы о «ласточкином хвосте».

 Утверждение 1. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих  треугольника).

      Доказательство. Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE ,

и заметим, что

      Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

Утверждение 2. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

      Доказательство. Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник  ABC, равна   площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF 

      Тогда

      В силу утверждения 1,

что и требовалось доказать.

Теория катастроф нашла многочисленные применения в различных областях прикладной математики, физики

В точке ласточкиного хвоста два минимума и два максимума встречаются в одном значении переменной x. Для значений a > 0 за ласточкиным хвостом существует либо одна пара (минимум, максимум), либо не существует вообще

3. Задача на тему «Задачи на построение».

Билет № 18

1.Вывод формул площадей параллелограмма S=ah S=absinA S=1/2*d1*d2sinA.

Определение. Высотой параллелограмма называется общий перпендикуляр его противоположных сторон (или прямых, содержащих эти стотроны).

Теорема о площади параллелограмма 1. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и проведенной к ней высоты:

Д оказательство:

Теорема о площади параллелограмма 2. Площадь параллелограмма равна произведению его сторон и синуса угла между ними:

Д оказательство:

Площадь параллелограмма можно найти по формуле

где  d₁  и d₂ –  диагонали четырёхугольника, а φ   – любой из четырёх углов между ними .

Доказательство. В соответствии с рисунком справедливо равенство:

что и требовалось доказать.