1) Точка c находится вне окружности,

2) она лежит внутри окружности. При первом предположении и условии ∠A > 90 стороны BC и DC пересекают окружность вторично в своих внутренних точках E и F. Тогда для вписанного четырехугольника ABED по необходимому условию будет ∠A+∠BED=180. По теореме о внешнем угле треугольника ∠BED > ∠C и потому ∠A+∠C < 180, что противоречит условию. Второе предположение аналогично приводит к противоречию ∠A + ∠C > 180. Доказательство закончено.

Доказательство:

1) Проведем окружность через три вершины четырехугольника A, B, D и докажем, что она проходит также через вершину С. Пусть это не так. Тогда вершина С лежит либо вне круга, либо внутри круга. Пусть точка С лежит вне круга. Тогда

Это противоречит условию теоремы. Следовательно, точка С не может лежать вне окружности.

Пусть точка С лежит внутри круга.

Т огда

Это противоречит условию теоремы. Следовательно, точка С не может лежать внутри окружности.

Вывод: Чтобы выполнялось условие теоремы, точка С должна лежать только на окружности, а четырехугольник ABCD должен быть вписанным в окружность.

3. Задача по теме «Теорема синусов».

Билет № 15

1. Определение средней линии треугольника и трапеции. Доказательство теорем о средней линии треугольника и трапеции.

Определение 1. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.

Свойство средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна основанию треугольника и равна его половине.

Дано: ABC; MN, ND, MD – средние линии.

Доказать: MN II AC;

Доказательство:

1. Продолжим MN за точку N и на продолжении отложим PN = MN.

2. Рассмотрим mbn и npc.

BN = NC (по определению средней линии); MN = NP (по построению); MNВ = PNC (вертикальные);  MВN = NPC (по 1 признаку)  BMN = NPC (внутренние накрест лежащие)  АВ II PC.

3. CP = MB (из равенства треугольников);

AM = MB (по определению средней линии);  CP = АM.

5. АM II PC; AM = PC  AMPC – параллелограмм  AC = MP; AC II MP.

6. MP = 2MN (по построению)  MN = 0,5AC.

7. AC II MP; MNMP;  MN II AC.

Определение 2. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Свойство средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Дано: ABCD – трапеция; AD II BC; MN – средняя линия.

Доказать: MN II AD; MN II BС;

Доказательство:

Рассмотрим NВС и NDE. СN = ND (по условию); ВNС = END (вертикальные);

BСN = NDE (внутренние накрест лежащие при BC II AD и секущей CD); NВС и NDE (по 2 признаку)  BN = NE; BC = DE. Рассмотрим AВE. MN – средняя линия MN II AD; MN=0,5AE.

AE = AD + DE = AD + BC 