Доказательство.

Пусть АВСD — ромб, АС и BD — диагонали.

Тогда S_ABCD = S_ABC + S_ACD = (AC · BO) / 2 + (AC · DO) / 2 = AC(BO + DO) / 2 = (AC · BD) / 2. Что и требовалось доказать.

Так же площадь ромба можно найти с помощью следующих формул:

1. S = a · H, где a — сторона, H — высота ромба.

2. S = a² · sin α, где α — угол между сторонами, a — сторона ромба.

3. S = 4r² / sin α, где r — радиус вписанной окружности, α — угол между сторонами.

2. Выражение радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник через его стороны (вывод формулы).

Теорема: Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник вычисляется по формуле

где a, b – катеты прямоугольного треугольника,   c  –  гипотенуза,  r –  радиус вписанной окружности.

    Доказательство. Рассмотрим рисунок

    Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником, у которого соседниестороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат. Следовательно,

СВ = СF= r,

      В силу теоремы «Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны», справедливы равенства

      Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.

Второй способ: , , ,

r= = = = = .

3. Задача по теме «Биссектриса внутреннего угла треугольника».

Билет № 14

1. Построение отрезков х= .

Построение отрезков по формулам

,  сводится к построению прямоугольного треугольника по его катетам, либо гипотенузе и катету. В первом случае х – гипотенуза, во втором – катет.

Задача о построении четвертого пропорционального отрезка.

Даны отрезки a, b и c. Построить отрезок

1. Строим любой неразвернутый угол с вершиной о.

2. Откладываем на одной стороне угла отрезки OA = a и OB = b.

3. Откладываем на другой стороне угла отрезок OС = с.

4. Проводим прямую ас.

5. Через точку в проводим параллельную ей прямую, которая пересекает вторую сторону угла в точке d.

6. Полученный отрезок OD – искомый. OD = x.

Проверка: По теореме о пропорциональных отрезках

Замечание. Построенный отрезок х называется четвертым пропорциональным отрезком, так как его длина является четвертым членом пропорции

2. Определение вписанного четырехугольника. Доказательство свойства углов вписанного четырехугольника.

Так как центр описанной около четырехугольника окружности равноудален от его вершин, то он принадлежит серединным перпендикулярaм к его сторонам и диагоналям. Обратно, если серединные перпендикуляры к трем сторонам четырехугольника пересекаются в одной точке, то эта точка будет равноудалена от всех его вершин и поэтому будет центром описанной около него окружности. Итак, для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы серединные перпендикуляры к трем его сторонам пересекались в одной точке.

Д ругой критерий вписанного четырехугольника связан с его углами.

Теорема. Для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противоположных углов была равна 180 (т. е. суммы его противоположных углов были равны).

Необходимость этого условия очевидна: сумма углов A и C вписанного четырехугольника ABCD измеряется полусуммой дуг BCD и BAD, составляющих полную окружность, и потому равна 180.

Доказательство: По теореме о градусной мере вписанного угла в окружности

Теорема (обратная). Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180, то около него можно описать окружность.

Д остаточность. Пусть ∠A + ∠C = 180◦. Тогда эти углы не могут быть оба острыми или оба тупыми. Для определенности будем считать, что ∠A > 90◦. Опишем около треугольника ABD окружность и докажем, что точка C ей принадлежит. Для этого необходимо опровергнуть два возможных

предположения: