2. Выражение расстояния между двумя точками через координаты этих точек.

Расстояние между двумя точками координатной плоскости.

Пусть А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) – некоторые две точки в декартовой системе координат ХОУ. Расстоянием между точками А и В будем называть длину отрезка АВ, если точки А и В различны, и число 0, если точки А и В совпадают.

Обозначим длину отрезка АВ через d. Выразим значение d через координаты точек А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂).

Допустим, что х₁ ≠ х₂ и у₁ ≠ у₂, то есть отрезок АВ непараллелен осям координат. Проведем через точки А и В прямые, параллельные осям координат, С – точка их пересечения.

Т огда

Образовавшийся треугольник АВС – прямоугольный по построению: С = 90°. По теореме Пифагора:

Полученная формула выражает расстояние между двумя точками координатной плоскости или длину отрезка.

Пусть отрезок АВ параллелен какой-либо из осей, например, оси абсцисс.

В этом случае очевидно (см. рисунок), что

Аналогично, что если отрезок АВ параллелен оси ординат, то выполняется равенство:

Несложно доказать, что эти формулы – частный случай формулы:

полученный при условии, что совпали какие-либо две соответствующие координаты точек А и В. Например, при

Расстояние между двумя точками плоскости обладает следующими свойствами:

1) для любых точек А и В АВ  0, причем АВ = 0 в том случае, если точки А и В совпадают;

2) для любых точек А и В АВ =ВА;

3) для любых точек А, В и С выполняется неравенство АС  АВ + ВС.

3. Задача на тему «Окружность».

Билет № 13

1. Определение ромба. Доказать свойства и признаки ромба. Вывод формулы

.

Определение 1. Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.

Так как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

Особое свойство ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Д ано: ABCD – ромб.

Доказать: АС  ВD; ВАС = САD;

AВD = DBC.

Доказательство:

Рассмотрим АВС. АВ = ВС, АО = ОС.  ВО – высота и биссектриса АВC.  ВС  AD; АВO = CВO. Рассмотрим АВD. АВ = AD, BО = ОD.

 AО – высота и биссектриса BАD.  ВAO = OAD.

Признаки ромба.

Признак 1. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом.

Д ано: ABCD – параллелограмм; АС  ВD.

Доказать: АВСD – ромб.

Доказательство:

АО = ОС (по свойству диагоналей параллелограмма);

ВО = ОD (по свойству диагоналей параллелограмма); АОВ = ВОС = СОD = АОD = 90°;  АОВ = ВОС = СОD = AOD (как прямоугольные по двум катетам); АВ = ВС = СD = AD; АВСD – ромб.

П ризнак 2. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм является ромбом.

Дано: ABCD – параллелограмм;

ВАО = ОАD.

Доказать: АВСD – ромб.

Доказательство: АО – общая; ВО = ОD (по свойству диагоналей параллелограмма); ВАО = DAО (по условию);  АОВ = AOD (как прямоугольные по катету и прилежащему острому углу);  АВ = AD  АВСD – ромб.

Теорема. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

S = (AC · BD) / 2.