2. Построение биссектрисы угла. Доказать свойство биссектрисы треугольника. Теорема об отношении отрезков биссектрисы треугольника, но которые она делится точкой пересечения биссектрис.

Построение биссектрисы данного угла:

1). Циркулем из вершины угла А проводим дугу произвольного радиуса до пересечения со сторонами угла в точках В и С.

2). Из точек В и С проводим дуги одинакового радиуса до пересечения в точке D.

3). Из точки A через точку D проводим луч AD.

Докажем, что CAD = BAD.

В ACD и ABD: AD – общая; AB = AC – по построению;CD = BD – по построению.

ACD = ABD (по третьему признаку).CAD = BAD.

AD – биссектриса.

Теорема о биссектрисе угла треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные соответствующим боковым сторонам.

Д оказательство:

1). Пусть BD – биссектриса угла В в АBС. Она разбивает треугольник на два треугольника: АBD и BСD.

2). По теореме синусов из АBD:

3). По теореме синусов из BСD:

4). АDB + CDB = 180° - смежные 

Следствие 1. Пусть BD – биссектриса угла В треугольника АВС. Тогда отрезки AD и CD находятся по формулам:

Доказательство:

Пусть АС = b, AB = c, BC = a. Если AD = x, то DC = b – x. Составим пропорцию:

Следствие 2. Рассмотрим рисунок , на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O.

      Тогда справедлива формула:

      Доказательство. Поскольку то

что и требовалось доказать.

      Замечание. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

3. Задача по теме «Прямоугольник, квадрат».

Билет № 11

1. Доказать признаки параллелограмма. Построение параллелограмма по двум сторонам и диагонали.

Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Д ано: ABCD – четырехугольник; АD II BC, АD = BC.

Доказать: АВСD – параллелограмм.

Доказательство: Проведем диагональ АС. АС – общая; ВС = АD (по условию);ВСА = САD (внутренние накрест лежащие при АD II BC и секущей АС);  АВС = АDС (по 1 признаку).

ВAC = ACD (внутренние накрест лежащие)  АВ II СD. АВСD – параллелограмм.

Признак 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Д ано: ABCD – четырехугольник; АВ = СD, АD = BC.

Доказать: АВСD – параллелограмм.

Доказательство: Проведем диагональ АС. АС – общая; ВС = АD (по условию); АВ = СD (по условию);  АВС = АDС (по 3 признаку). ВСА = САD (внутренние накрест лежащие)  АD II BC; ВAC = ACD (внутренние накрест лежащие)  АВ II СD.

АВСD – параллелограмм.

П ризнак 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Дано: ABCD – четырехугольник; АС ВD = {О}; BO = OD; AO = OC.

Доказать: АВСD – параллелограмм.

Доказательство: ВO = OD (по условию); АO = OС (по условию); AOВ = СOD (вертикальные);

 АОВ = DОС (по 1 признаку).

ОВА = СDО (внутренние накрест лежащие)  АВ II СD; ВO = OD (по условию); АO = OС (по условию); СOВ = АOD (вертикальные);

 СОВ = DОА (по 1 признаку). ВCО = ОAD (внутренние накрест лежащие)  АD II BC.

АВСD – параллелограмм.

Построение параллелограмма по двум сторонам и диагонали . Построим по трем сторонам (две стороны равны сторонам параллелограмма, а третья сторона — диагональ параллелограмма). Через вершины С и А проведем прямые, параллельные сторонам AD и DC, соответственно точка пересечения В будет являться четвертой вершиной искомого параллелограмма ABCD. 2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Построим треугольник по трем сторонам (первая сторона является стороной параллелограмма, две другие равны половине диагоналей). На продолжении стороны АО отложим отрезок

а на продолжении стороны DO отложим отрезок

Точки В и С являются вершинами искомого параллелограмма ABCD.