Площадь прямоугольника, прямоугольного треугольника и площадь квадрата.
Определение 1. Для многоугольных фигур площадью называется положительная величина с такими свойствами: 1) Если фигура составлена из нескольких многоугольных фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур. 2) Равные треугольники имеют равную площадь.
Определение 2. Фигуры, имеющие одну и ту же площадь, называются равновеликими.
И
змерение
площади состоит в сравнении площади
данной фигуры с площадью фигуры,
принятой за единицу измерения. В
результате сравнения получается
некоторое число, принятое за численное
значение площади. Это число показывает,
во сколько раз площадь данной фигуры
больше (или меньше) площади фигуры,
принятой за единицу измерения площади.
За единицу измерения площади принимает
площадь подходящего квадрата. Площадь
этого квадрата называют квадратной
единицей площади, а сам квадрат –
единичным.
Теорема
о площади прямоугольника.
Площадь прямоугольника равна
произведению его сторон:
Доказательство:
1) Рассмотрим прямоугольник со сторонами a и b и площадью s.
2) Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b, как показано на рисунке. Площадь квадрата равна квадрату его стороны, поэтому
3) Из рисунка видно, что квадрат составлен из двух прямоугольников со сторонами a и b и двух квадратов, причем один из них со стороной a имеет площадь a2, а второй – со стороной b имеет площадь b2.
Следовательно, площадь каждого прямоугольника равна
Теорема о площади прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Доказательство: Пусть дан прямоугольный треугольник Т со сторонами a и b. Достроим его до прямоугольника Р со сторонами a и b, проведя через вершины его острых углов прямые, перпендикулярные катетам. Гипотенуза треугольника разбивает прямоугольник на два равных треугольника Т и Т1. Поэтому
Следствие
Площадь
квадрата равна квадрату стороны:
.
Задача по теме «Элементы треугольника»
Билет № 8
Определение треугольника. Доказать теорему о сумме углов треугольника. Замечательные точки треугольника: центр тяжести, ортоцентр, центры вписанной, описанной и вневписанной окружностей.
Определение. Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.
Элементы треугольника: 1) вершины: А, В, C; 2) стороны: АВ, ВC, АС; 3) углы: А, В, C.
Обозначение треугольника: ∆ АВС.
Теорема:
Сумма углов треугольника равна 1800.
Доказательство: Пусть ABC' — произвольный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида). Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD. Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Что и требовалось доказать.
Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.
Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно. В частности, точка пересечения высот может находиться вне треугольника.
Замечательными точками треугольника являются
Точки пересечения:
Медиан — центроид, центр масс;
Биссектрис — инцентр, центр вписанной окружности;
Высот — ортоцентр;
Серединных перпендикуляров — центр описанной окружности;
Определение. Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник, иливневписанной окружностью, если она касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).
Замечание У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.
Замечание Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке , лежит на биссектрисе угла B, а окружность касается стороны b. Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b, и обозначать её радиус символом rb .