Завдання 6

Використовуючи метод поділу навпіл, обчислити перші три кроки наближення кореня рівняння на проміжку . Обчислення проводити з точністю 0,01. Результат записати визначивши середню точку тричі звуженого інтервалу.

Спочатку необхідно пересвідчитись,що проміжок містить лише один корінь рівняння: . Це можна виконати шляхом табулювання значень функції чи графічно. Функція один раз міняє знак на проміжку .

Для заданої функції проміжку умова виконується.

x	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
y	-1	-1,27	-0,86	0,296	2,232	5

Рис. 5

Згідно методу поділу навпіл (діхотомії) на кожному кроці наближення визначається середня точка інтервалу . З одержаних таким поділом частин залишаємо відрізок на кінцях якого функція міняє знак. Якщо виконується умова

то обираємо .

В протилежному випадку .

Використаємо запропоновану ітераційну схему.

Умова не виконується отже

.

Умова виконується отже

.

Умова виконується отже

Четверте наближення кореня рівняння

вважаємо достатнім при запропонованій точності

.

Приймаємо корінь рівняння:

Завдання 7

Визначити точку мінімуму функції двох змінних

.

За допомогою градієнтного методу найшвидшого спуску, виконати два кроки наближення.

Знайдемо вектор градієнта, що визначає напрям найшвидшої зміни функції:

.

Оскільки відомо, що задана функція може мати лише одну екстремальну точку початкове наближення вибираємо довільно

Методом найшвидшого спуску наступне наближення обчислюємо за формулою

Виконаємо перший крок наближення:

,

Визначаючи значення параметра мінімізуємо одержану функцію однієї змінної. Очевидно

Перше наближення: і

Виконаємо другий крок.

,

Значення параметра визначаємо з умови мініму одержаної функції.

Друге наближення: і .

Зауважимо, що довжина вектора градієнту на кожному кроці зменшується, що є ознакою наближення до точки екстремуму.Необхідна умова екстремуму .

Для заданої в умові функції з необхідної умови екстремуму, що складає систему двох лінійних ріинянь, легко визначити координати точки екстремуму: і оцінити ефективність обчислених наближень:

.