3.2 Метод найменших квадратів визначення параметрів
квадратичної емпіричної залежності y=ax2+bx+c
Методом найменших квадратів для функції заданої таблично визначимо параметри a, b та с квадратичної емпіричної залежності y=ax2+bx+c .
За методом найменших квадратів для визначення параметрів a, b та с
д
ля
функції заданої таблично аналогічно
до попереднього пункту 3.1
мінімізуємо функцію:
і одержуємо систему лінійних рівнянь:
.
Розглянемо числовий приклад залежності для якого в попередньому пункті 3.1 будувалось лінійне наближення і переконаємось, що збільшення степені многочлена у наближенні, а отже збільшення степенів свободи, дозволяє зменшити похибку апроксимації.
Нехай задано таблицю значень функції:
x |
-1 |
1 |
3 |
5 |
|
y |
14 |
-3 |
-1 |
8 |
|
При обчислення коефіцієнтів системи та для визначення розв’язку можна скористатись Exel таблицею:
i |
x |
y |
x2 |
x3 |
x4 |
xy |
yx2 |
1 |
-1 |
14 |
1 |
-1 |
1 |
-14 |
14 |
2 |
1 |
-3 |
1 |
1 |
1 |
-3 |
-3 |
3 |
3 |
-1 |
9 |
27 |
81 |
-3 |
-9 |
4 |
5 |
8 |
25 |
125 |
625 |
40 |
200 |
Сума |
8 |
18 |
36 |
152 |
708 |
20 |
202 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Записуємо
систему
лінійних рівнянь:
Розв’язок системи: a=1,625; b=-7,3; c=4,475.
Методом найменших квадратів побудована емпірична залежність: y = 1,625 x2 - 7,3x + 4,475.
Побудуємо графік визначеної параболи і точкової функціональної залежності заданої в табличній формі в умові завдання (рис.3). Оскільки параметри визначено методом найменших квадратів то сумарне відхилення точок від параболи є мінімальним.
Рис. 3.
В Maple залежності методом найменших квадратів вищих степенів будуємо операторами вже описаними в пункті 3.1:
>
>
>
3.3 Метод найменших квадратів визначення параметрів
степеневої емпіричної залежності y=kxm
4. Числові методи побудови розв’язку задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку
Розв’язком
задачі Коші для диференціального
рівняння 
є функція, що задовольняє рівняння та початкову умову y(x0)=y0. Наближення згідно означення похідної у рівнянні виразом y’≈ ( уi+1-yi)/h, де
h= xn+1 - xn, дозволяє одержати формулу Ейлера послідовного обчислення значень функції для розв’язку задачі Коші:
.
Покажемо на прикладі як використовуючи метод Ейлера, виконати перші п’ять кроків наближення значення розв’язку задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку:
при h= xn+1
- xn
= 0,2 з початковою умовою x0=0;
y0=1.
З початкової умови маємо значення x0=0; y0=1. Тоді
Продовжуючи одержуємо значення розв’язку:
-
i
x
y
0
0
1
1
0,2
1,40
2
0,4
1,98
3
0,6
2,83
4
0,8
4,11
5
1
6,01
Проте метод Ейлера має похибку порядку h, а отже на практиці використовують модифікації цього методу, що одержали назву методів Рунге-Кута:
;
Використовуючи метод Рунге-Кута, виконати перші кроки обчислення значень розв’язку задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку:
при h= xn+1 - xn = 0,5. Початкова умова x0=0; y0=1.
З
початкової умови x0=0;
y0=1.
Тоді 
Продовжуючи одержуємо значення розв’язку:
-
i
x
y
0
0
1
1
0,5
2,818
2
1
8,522
3
1,5
25,606
4
2
61,104
Пакет Maple дозволяє будувати як загальний розв’язок диференціальних рівнянь так і розв’язок задачі Коші оператором
dsolve ( );
Зокрема, для побудови загального розв’язку диференціального рівняння оператор
дозволяє одержати розв’язок
.
У випадку задачі Коші записуємо
одержуючи розв’язок
.
Графіки розв’язків задачі Коші при різних початкових умовах (інтегральні криві диференціального рівняння) будуємо оператором
На графіку бачимо три інтегральні криві, що є розв’язками диференціаль-ного рівняння при початкових значеннях -2;1;3.
Рис. 4.
Проте в багатьох випадках функція, що є розв’язком задачі Коші не записується у явній формі і може визначатись лише числовими методами.
Такий розв’язок будується у формі відповідної процедури.
Після вводу одержуємо
Сформовану процедуру можна використовувати для обчислення значень. Зокрема рядок
дає значення
.
За потреби значення числового розв’язку можна вивести масивом
Одержуючи таблицю значень розв’язку задачі Коші:
