МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ ТА ПРОДОВОЛЬСТВА УКРАЇНИ
ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Факультет будівництва та архітектури |
Кафедра вищої математики |
ОСНОВИ ЧИСЛОВИХ МЕТОДІВ
У ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ
З РЕАЛІЗАЦІЄЮ В ПАКЕТІ MAPLE
Методичні рекомендації та контрольні завдання до курсу
«Основи числового аналізу» з напряму підготовки 6.100102
«Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва»
Львів 2014
Рекомендовано до друку
методичною радою ЛНАУ
Протокол № 10 від 8.05.2014р.
Укладачі: к. ф.-м.н., доцент Л. Я. Шпак
к. ф.-м.н., доцент Т. І. Бубняк
ст.викладач О. І. Говда
Рецензент: к. т. н., доцент В.О.Тимочко
Видається за редакцією авторів
© Львівський національний аграрний університет, 2014
1. Основні положення роботи в Maple
2. Інтерполяційний многочлен
Для функції заданої таблично:
|
x |
x1 |
x2 |
… |
xn |
|
y |
y1 |
y2 |
… |
yn |
інтерполяційний многочлен Лагранжа будуємо згідно формули:
Наприклад, для функції заданої таблично:
|
x |
-1 |
1 |
3 |
5 |
|
|
y |
14 |
-3 |
-1 |
8 |
? |
побудуємо інтерполяційний многочлен Лагранжа .Обчислимо наближене значення многочлена у заданій в точці х = -0,5.
Згідно умови функція визначена в чотирьох точках (вузлах) n=4. Згідно запропонованої формули записуємо чотири доданки:
.
Одержуємо многочлен третього порядку:
На рис.1 побудовано графік інтерполяційного многочлена. В вузлах інтерполяції його значення співпадають з значеннями заданими в таблиці.
Рис. 1
Обчислюємо значення многочлена в заданій точці:
y = L4(-0,5)=7,3.
Побудову інтерполяційного многочлена та обчислення його значення в точці ( х = -0,5 ) в вікні програми Maple здійснюємо операторами:
після вводу яких клавішою Enter одержуємо:
Графік многочлена будуємо оператором:
Треба зауважити, що в діапазоні зміни аргумента х через двокрапку в рядок вказуємо найменше та найбільше його значення з таблиці. Одержуємо графік.
3. Метод найменших квадратів
3.1 Метод найменших квадратів визначення параметрів
лінійної емпіричної залежності y=ax+b
Нехай в результаті емпіричних досліджень одержано таблицю значень функції:
|
x |
x1 |
x2 |
… |
xn |
|
y |
y1 |
y2 |
… |
yn . |
За методом найменших квадратів для визначення параметрів a та b
лінійної емпіричної залежності y=ax+b мінімізуємо суму квадратів відхилень відповідних значень на прямій і значень заданих в таблиці
З
необхідної умови екстремуму функції
двох змінних:
записуємо систему двох лінійних рівнянь для визначення параметрів a та b:
Розглянемо приклад. Методом найменших квадратів для функції заданої таблично:
x |
-1 |
1 |
3 |
5 |
|
y |
14 |
-3 |
-1 |
8 |
|
визначити параметри a та b емпіричної лінійної залежності y=ax+b .
При обчисленні коефіцієнтів системи та визначенні розв’язку можна скористатись довільним прикладним програмним забезпеченням, зокрема записати в формі Exel таблиці:
i |
x |
y |
x2 |
xy |
1 |
-1 |
14 |
1 |
-14 |
2 |
1 |
-3 |
1 |
-3 |
3 |
3 |
-1 |
9 |
-3 |
4 |
5 |
8 |
25 |
40 |
Сума |
8 |
18 |
36 |
20 |
Записуємо систему
двох лінійних рівнянь: 
Розв’язок системи: a=-0,8; b=6,1.
Методом найменших квадратів побудована лінійна емпірична залежність: y=-0,8x+6,1.
Побудуємо графік визначеної прямої і точкової функціональної залежності заданої в табличній формі в умові завдання (рис.2).
Рис. 2.
Оскільки параметри прямої визначено методом найменших квадратів то сумарне відхилення точок від прямої є мінімальним.
В вікні програми Maple залежність методом найменших квадратів будуємо підключаючи відповідний статистичний пакет операторами:
>
>
>
ввівши які одержуємо лінійну залежність
.