Авторегрессионные модели

Авторегрессионная модель порядка p имеет вид:

,

где

– отклик (зависимая переменная) в момент ,

, – отклик при значениях интервалов времени , , соответственно,

, - оцениваемые коэффициенты,

– ошибка, описывающая влияние переменных, которые не учитываются в модели.

Автокорреляционные модели применимы для стационарных рядов, а коэффициент зависит от постоянного уровня ряда, если данные изменяются в окрестности нуля или выражаются как отклонение от среднего значения , коэффициент не нужен.

Рисунок 1 – Автокорреляционные и частные автокорреляционные

коэффициенты моделей AR(1) и AR(2)

моделей AR(1) и AR(2)

Рисунок 2 – Автокорреляционные и частные автокорреляционные

коэффициенты моделей MA(1) и MA(2)

Рисунок 3 – Автокорреляционные и частные автокорреляционные

коэффициенты смешанной модели ARIMA(1,1)

Уравнения модели AR первого порядка (модель AR(1)) и модель AR второго прядка (модель (AR)) показаны на рисунке 1. На рисунке а и б иллюстрируется поведение теоретических функций автокорреляции и функции частной автокорреляции для модели AR(1). Обратите внимание на различие в поведении функции автокорреляции и функции частной автокорреляции. Автокорреляционные коэффициенты постепенно убывают до нуля, тогда как частные автокорреляционные коэффициенты после первого промежутка времени обращаются в нуль. Рисунке в и г демонстрируют автокорреляцию AR(2). И вновь автокорреляционные коэффициенты плавно убывают до нуля, в то время как частные автокорреляционные коэффициенты после второго промежутка времени обращаются в нуль. Подобный тип графиков, в целом, сохраниться для любой модели AR(р). Опять-таки, необходимо помнить о том, что набор автокорреляционных функций будет отличаться от этих теоретических функций вследствие вариаций выборки.

Модель со скользящим средним

Модель со скользящим средним порядка записывается следующим уравнением

,

где

– отклик (зависимая переменная) в момент ,

- постоянное среднее процесса,

, - оцениваемые коэффициенты,

– ошибки в предыдущие периоды времени, которые в момент включены в отклик .

Уравнение на стр.21 похоже на уравнение на стр. 25, за исключением того, что зависимая переменная зависит от предыдущих значений ошибок, вместо самой переменной. Модели со скользящими средними (MA) дают прогноз функции , основываясь на линейной комбинации ограниченного числа прошлых ошибок, тогда как авторегрессионные модели (AR) дают прогноз на основании линейной аппроксимации ограниченного числа прошлых значений .

Выражение «скользящее среднее» относится к тому факту, что отклонение отклика от среднего, , является линейной комбинацией текущих и прошлых ошибок, а так как время движется вперед, то ошибки, включенные в линейную комбинацию, также будут смещаться вперед.

Весовые коэффициенты необязательно в сумме дают единицу и могут быть и положительными, и отрицательными. На рисунке 2 а и б иллюстрируется также поведение теоретических коэффициентов автокорреляции и частной автокорреляции для модели MА(1). Обратите внимание на тот примечательный факт, что функция автокорреляции и частной автокорреляции моделей AR и MА ведут себя совершенно по-разному. Автокорреляционные коэффициенты для модели MА (1) обращаются в нуль сразу после запаздывания в один период, в то время как частные автокорреляционные коэффициенты приближаются к нулю постепенно. Соответственно, в модели MА (2) автокорреляционные коэффициенты равны нулю после запаздывания в два периода, в то время как частные автокорреляционные коэффициенты плавно приближаются к нулю (рис. в и г).