2.2.2.2 Модели arima для сезонных данных

Сезонные данные обладают отчетливой структурой, которая повторяется каждый год. В месячных данных с годовой сезонной структурой значения для одних и тех же месяцев в разные годы должны коррелировать между собой, т.е. январь одного года должен быть похож на январь следующего и т.д. Следовательно, связаны между собой (коррелировать) должны не только отдельны наблюдения в течение одного и того же года, но и наблюдения с периодом, кратным целому году. Коэффициенты автокорреляции и частной автокорреляции подобных данных будут отличны от нуля при небольших интервалах запаздывания (внутригодовые взаимосвязи) и при интервалах, кратных периоду сезонности S=12 (межгодовые взаимосвязи). Интерпретация коэффициентов автокорреляции и частной автокорреляции при сезонных интервалах будет такой же, как и для коэффициентов автокорреляции и частной автокорреляции при малых интервалах.

Сезонные модели ARIMA включают в себя обычные авторегресионные члены и члены скользящего среднего, отвечающие за корреляцию при низких интервалах, а также авторегресионные члены скользящего среднего, отвечающие за автокорреляции и частные автокорреляции при сезонных интервалах. В случае нестационарных сезонных рядов для достижения полноты описания часто необходимо дополнительно учесть в модели сезонные разности.

Пример.

Имеются данные о месячных объемах продаж за ряд лет (12 лет). Данные представлены в таблице. Проанализируем структуру ряда с помощью анализа временных рядов в Statistica, сформируем подходящую модель ARIMA и осуществим прогноз на следующий полный сезонный цикл [15,16].

Таблица 13 – Данные временного ряда

Год
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
112	115	145	171	196	204	242	284	315	340	360	417
118	126	150	180	196	188	233	277	301	318	342	391
132	141	178	193	236	235	267	317	356	362	406	419
129	135	163	181	235	227	269	313	348	348	396	461
121	125	172	183	229	234	270	318	355	363	420	472
135	149	178	218	243	264	315	374	422	435	472	535
148	170	199	230	264	302	364	413	465	491	548	622
148	170	199	242	272	293	347	405	467	505	559	606
136	158	184	209	237	259	312	355	404	404	463	508
119	133	162	191	211	229	274	306	347	359	407	461
104	114	146	172	180	203	237	271	305	310	362	390
118	140	166	194	201	229	278	306	336	337	405	432

 После загрузки данных в рабочую область программы, нажмите кнопку АРПСС и автокорреляционные функции, вы увидите окно Одномерная АРПСС.

Выбор порядка. Прежде чем оценивать параметры, надо определить их количество. Для идентификации используем автокорреляционные и частные автокорреляционные функции, доступные в этом диалоговом окне. Вначале нажмите кнопку Другие преобразования и графики. Откроется окно Преобразования переменных

Рисунок 14 – Месячные объемы продаж продукции

. Далее нажмите кнопку График рядом с кнопкой Просмотр выдел. переменной и постройте график ряда.

Тренд и сезонная составляющая ряда выглядят очень отчетливо. Для идентификации АРПСС возьмем подходящие разности ряда и рассмотрим соответствующие автокорреляционные и частные автокорреляционные.

Мультипликативная сезонность. Из графика видно, что амплитуда колебаний ряда увеличивается в зависимости от сезона (т.е. имеется очевидная мультипликативная сезонность), которая может сместить оценки автокорреляции. Прологарифмируем ряд, чтобы стабилизировать амплитуду колебаний.

Логарифмическое преобразование. Вернитесь в окно Преобразования переменных. Выберите преобразование Натуральный логарифм (x=ln(x)) и нажмите OK (Рисунок 15). После проведения преобразований всех наблюдений, график преобразованного ряда автоматически появится на экране (рисунок 16).

Рисунок 15 – Логарифмическое преобразование переменных

Рисунок 16 – Логарифмированные месячные объемы продаж продукции

Из графика вы видите, что цель преобразования достигнута, амплитуда колебаний стала более стабильной и ряд готов для дальнейшего исследования.

Автокорреляции. Вернитесь в окно Преобразования переменных измените Число лагов на вкладке Автокорреляции, вместо предложенных по умолчанию 15 поставьте 25. Нажмите кнопку Автокорреляции, чтобы построить таблицу результатов с автокорреляциями и график автокорреляционной функции.

Рисунок 17 – Автокорреляционная функция

График показывает сильную периодическую зависимость, автокорреляции на лагах 1, 12 имеют максимальные значения.

Взятие разности. Для удаления периодической зависимости возьмем вначале разность ряда с лагом 1. Нажмите Далее, чтобы вновь открыть диалоговое окно Преобразования переменных.

Заметим, преобразованный (прологарифмированный) ряд автоматически направляется в активную рабочую область. Выделите преобразованный ряд (с ним работаем далее). Выберите преобразование Разность (x=x-x(лаг)) (сохраните лаг равный 1) и нажмите OK (Преобразовать). График имеет вид (рисунок 18).

Теперь каждый член преобразованного ряда равен разностям между соседними членами прологарифмированного ряда. Заметим, ряд стал короче на число элементов, равное длине лага 1.

Вернитесь в диалоговое окно Преобразования переменных и снова выберите опцию Автокорреляции. Вы видите, что после взятия разности исчезла корреляция не только на лаге 1, но также на большинстве других лагов (как объяснялось ранее, автокорреляции для последовательных лагов взаимозависимы).

Рисунок 18 – Временной ряд после логарифмирования и взятия

разностей

Сезонность. Однако как часто происходит, удаление зависимостей на малых лагах приводит к более отчетливой зависимости на лагах высокого порядка (в данном случае, это видно на лаге 12). Имеется также отчетливая (сезонная) зависимость на лаге 24 (и других лагах, кратных 12, таких как 36, 48 и т.д.). Это показывает сильную сезонную зависимость. Таким образом, в ряде отчетливо видна сезонность.

Взятие сезонной разности. Возьмем сезонную разность с лагом 12. Вернитесь в окно Преобразования переменных и снова выберите Разность (x=x-x(лаг)), но теперь измените значение лага, положите лаг=12. Нажмите OK. Снова, по умолчанию, преобразованный ряд будет отображен на графике. Как и ранее, в окне Преобразования переменных выберите опцию Автокорреляции (рисунок 20).

Рисунок 19 – Автокорреляционная функция преобразованного ряда

Рисунок 20 – Автокорреляционная функция после взятия сезонных

разностей

Большинство сильных автокорреляций теперь удалено. Хотя еще остались автокорреляции, большие 2-х стандартных ошибок (показанных точечной линией на графике автокорреляций), не нужно брать еще разности ряда, т.к. они могут исключить эффект скользящего среднего.

Теперь выберите опцию Частные автокорреляции.

Рисунок 21 – Частная автокорреляционная функция после взятия сезонных разностей

Оцениваемые параметры. В целом коррелограмма выглядит достаточно хорошо, и ряд готов для анализа с помощью АРПСС. Основываясь на разведочном анализе (т.е. идентификации АРПСС), можно придти к выводу, что сезонная АРПСС (с лагом 12) и несезонная модель (с лагом=1) достаточно хорошо подходят к преобразованному ряду. Будут оцениваться два параметра скользящего среднего модели АРПСС: один сезонный (Qs) и один несезонный (q). Параметры авторегрессии отсутствуют в модели.

Интегрированные преобразования АРПСС. Ранее было выполнено логарифмическое преобразование данных и два типа разности (несезонная и сезонная) были взяты. Все эти преобразования уже выполнены и результаты просмотрены. Преобразованный ряд можно теперь непосредственно использовать в АРПСС. Однако в ситуациях, похожих на данную, рекомендуется анализировать исходный ряд и задать необходимые преобразования внутри АРПСС (эти преобразования будут частью спецификации АРПСС). Если вы захотите построить прогноз (после оценки параметров АРПСС), то он будет вычислен из проинтегрированных рядов ("интегрирование", более точно суммирование, в данном случае означает просто операцию, обратную взятию разностей с соответствующими лагами). Таким образом, проводя обратные преобразования, вы возвращаетесь к исходному ряду и прогноз соответствует исходным данным (что обеспечивает более легкую интерпретацию результатов).

Спецификация АРПСС. Теперь снова вернемся в диалоговое окно Одномерная АРПСС, нажав Отмена в окне Преобразования переменных. В диалоговом окне выделена исходная переменная VAR1. Окно Одномерная АРПСС позволяет определить количество параметров авторегрессии и параметров скользящего среднего (сезонных и несезонных), которые нужно оценить. Вы не сможете сделать следующего шага, не задав, по крайней мере, один параметр (по крайней мере, одно из полей P, p, Q или q должно быть не пусто). Но до этого вы должны задать преобразования.

Выберите опции Натуральный логарифм и Разность. Затем задайте Лаг, равный 1, и установите Порядок, равным 1. Определите log-преобразование и несезонную разность. Задайте сезонную разность: во втором поле Лаг укажите 12 и снова установите 1 в поле Порядок.

Параметры АРПСС. Еще нужно задать параметры модели АРПСС. На этапе идентификации АРПСС, мы пришли к выводу, что нужно оценить один регулярный параметр скользящего среднего (q), один сезонный (Q) и ни одного параметра авторегрессии.

Оценивание параметров. Выберите метод Точный (Меларда) и нажмите OK (Начать оценивание параметров) и запустите итеративную процедуру оценивания.

Рисунок 22– Спецификация АРПСС

Просмотр результатов. После того, как процедура оценивания сойдется, откроется диалоговое окно Результаты АРПСС.

Вывод АРПСС. Нажмите кнопку Оценки параметров, чтобы увидеть таблицу результатов с оценками, стандартными ошибками, асимптотическими значениями t-статистик и т.д.

Рисунок 23 – Результаты оценивания параметров модели ARIMA(0,1,1)(0,1,1)₁₂

Рисунок 21 – Оценки статической значимости параметров модели ARIMA(0,1,1)(0,1,1)₁₂

Обе оценки (сезонных и несезонных параметров) высоко значимы.

Параметры прогноза. По умолчанию, программа вычисляет прогнозы для одного полного сезонного цикла, начиная с последнего наблюдения, т.е. с наблюдения, следующего после 144 (наблюдение - 145). Прежде всего, посмотрите прогнозы в таблице результатов. Нажмите кнопку Прогноз. Таблица результатов содержит прогнозы и их доверительные интервалы (рисунок 22). Заметим, если вы запросите построить прогнозы для имеющихся наблюдений (что также возможно), таблица результатов будет содержать наблюдаемые значения и остатки.

Рисунок 22 – Параметры прогноза по модели ARIMA(0,1,1)(0,1,1)₁₂

График остатков. Более хорошая "картина" получается, когда прогнозы продолжают наблюдаемый ряд. Вновь откройте окно Результаты одномерной АРПСС. Нажмите в нем кнопку График ряда и прогнозов.

Рисунок 23 – Прогноз по модели ARIMA(0,1,1)(0,1,1)₁₂

Анализ остатков. В общем, кажется, что модель достаточно адекватно подходит к данным. Однако имеются и другие важные способы оценки адекватности. Имеются два предположения модели АРПСС: (1) остатки (наблюдаемые минус оцененные значения) нормально распределены, (2) остатки независимы друг с другом, т.е. между ними нет остаточной корреляции. Если последнее условие не выполнено, то, вполне вероятно, что вы не заметили некоторый дополнительный параметр, влияющий на ряд.

Нормальный вероятностный график. Предположение о нормальности остатков может быть проверено с помощью нормальных вероятностных графиков. Ниже показан Нормальный график и нормальный график без тренда.

Рисунок 24 – Нормальный график остатков модели

Рисунок 25 – Нормальный график остатков модели без тренда

Стандартный нормальный вероятностный график строится следующим образом. Вначале происходит упорядочение отклонений от соответствующих средних (остатков). По этим рангам вычисляются z значения (стандартизованные значения нормального распределения). z значения откладываются на оси Y. Если наблюдаемые значения (отложенные по оси X) нормально распределены, то все значения попадут на прямую линию. Если распределение отлично от нормального, то на графике будет наблюдаться отклонение от прямой. На этом графике можно отчетливо увидеть выбросы.

Отличие нормальных вероятностных графиков без тренда от простых нормальных вероятностных графиков в том, что линейный тренд исключается из данных. Гистограмма остатков, показанная ниже, также служит визуальным подтверждением нормальности остатков (рисунок 26).

Рисунок 26 –Гистограмма остатков в модели ARIMA(0,1,1)(0,1,1)₁₂

Автокорреляция остатков. Теперь рассмотрим выполнение первого предположения АРПСС - остатки независимы друг с другом.

Независимость остатков можно проверить с помощью графика автокорреляционной функции (нажмите кнопку Автокорреляции в окне Результаты одномерной АРПСС). Из графика видно, что остатки практически не коррелированны друг с другом. Поэтому вы можете быть удовлетворены моделью.

Рисунок 27 – Автокорреляция остатков в модели

Пример. Имеются данные об объемах продаж за 115 месяцев. Эти данные представлены в таблице.

Таблица 14 – Месячные объемы продаж организации

Год
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1736,8	1757,6	1838,2	2054	1947,4	2134,6	2267,2	2152,8	2431	2615,6
1297,4	1302,6	1635,4	1544,4	1770,6	1799,2	1705,6	1708,2	2165,8	2163,2
559	572	618,8	600,6	626,6	756,6	962	806	780	899,6
1455,6	1458,6	1593,8	1604,2	1768	1890,2	1929,2	2028	2056,6	2210
1526,2	1567,8	1898	1796,6	1840,8	2256,8	2202,2	2236	2340	2376,4
1419,6	1627,6	1911	1822,6	1804,4	2111,2	1903,2	2028	2033,2	2259,4
1484,6	1575,6	1695	1835,6	2007,2	2080	2337,4	2100,8	2288	2584,4
1651	1682,2	1757,6	1944,8	2067	2191,8	2022,8	2327	2275
1661,4	1710,8	1944,8	2009,8	2048,8	2202,2	2225,6	2225,6	2581,8
1851,2	1853,8	2108,6	2116,4	2314	2449,2	2441,4	2321,8	2540,2
1617,2	1788,8	1895,4	1994,2	2072,2	2090,4	2113,8	2275	2519,4
1614,6	1822,4	1822,6	1895,4	1952,6	2184	2035,8	2171	2267,2

На основе разведочного анализа идентифицируйте подходящую модель ARIMA и осуществите прогноз на оставшиеся месяцы текущего сезонного цикла.

График наряду с возрастающим трендом имеет отчетливо проявляющуюся сезонную структуру.

Рисунок 28 – Месячные объемы продаж продукции

Рисунок 29 – Автокорреляционная функция временного ряда

Определение модели начнем с изучения функции выборочной автокорреляции. Коэффициенты автокорреляции при малых интервалах практически отсекаются уже после интервала 1, хотя присутствует незначительный всплеск на интервале 3. Коэффициенты автокорреляции на интервалах сезонности, т.е. на 12, 24 значительны, но быстро затухают. Это указывает на нестационарность ряда.

Вычислим разностный ряд в соответствии с сезонной структурой (рисунок)

Рисунок 30 – Временной ряд после взятия сезонной разности

На рисунках 31-32 приведены соответственно функции выборочной автокорреляции и выборочной частной автокорреляции для разностного ряда. Сезонные разностные данные вполне можно считать стационарными, причем они колеблются около значения порядка 100.

Рисунок 31 – Автокорреляционная функция для временного ряда

после взятия сезонных разностей

Рисунок 32 – Частная автокорреляционная функция для временного

ряда после взятия сезонных разностей

Коэффициенты автокорреляции имеют один значительный пик при интервале 12, а коэффициенты выборочной частичной автокорреляции имеют значительные пики при интервалах 12 и 24, которые постепенно затухают. Подобное поведение указывает на элемент MA(1) при интервале 12.

Выберем для данных модель вида ARIMA(0,0,0)(0,1,1)₁₂. Подобная запись подразумевает следующее.

p=0 обычные авторегресионные слагаемые,

d=0 обычные разности,

q=0 обычные слагаемые скользящего среднего,

D=1 сезонные разности на интервале S=12,

Q=1 слагаемые сезонного скользящего среднего.

Поскольку сезонный разностный ряд изменяется около ненулевого значения, в уравнение необходимо добавить постоянное слагаемое.

Результаты оценки приведены на рисунке 33.

Рисунок 33 – Оценки параметров модели вида ARIMA(0,0,0)(0,1,1)₁₂

График функции автокорреляции остатков представлен на рисунке 7.34. Прогноз на следующие 12 месяцев продолжает график объемов продаж компании, показанный на рисунке 7.35.

Рисунок 34 – Автокорреляционная функция для остатков модели

Рисунок 35 – Прогноз значения объемов продаж по модели вида

ARIMA(0,0,0)(0,1,1)₁₂

Модели временных рядов в прибыли. Большинство моделей временных рядов, используемых при прогнозировании прибыли, построены на основе квартальных данных о прибыли на акцию. В статье Батке и Лорек (1984) указали, что три модели временных рядов принесли пользу в предсказании квартальной прибыли на акцию. Все три модели являются сезонными авторегрессионными интегрированными моделями скользящего среднего, поскольку квартальные прибыли на акцию имеют сильный сезонный компонент.

Первая модель, разработанная Фостером, учитывает сезонность в прибыли, что дает:

Модель 1. SARIMA (1.0.0)×(0.1.0)_s4

.

Данная модель была расширена Гриффином и Уоттсом c учетом параметра скользящего среднего:

Модель 2. SARIMA (0,1,1)×(0.1.1)_s4

где – параметр скользящего среднего первого порядка, – параметр сезонного среднего первого порядка, – реализация возмущения в конце квартала t.

Третья модель временных рядов, разработанная Брауном и Розеффом, аналогична в своем использовании параметра сезонного скользящего среднего.

Модель 3. SARIMA (1.0.0) ×(0.1.1)_s4

.