Этап 2. Оценка модели

После того как пробная модель будет выбрана, необходимо выполнить оценку ее параметров.

В моделях ARIMA значения параметров подбираются путем минимизации суммы квадратов ошибок подгоночных параметров. В общем случае для реализации этой процедуры должен применяться нелинейный метод наименьших квадратов. Нелинейный метод наименьших квадратов – это алгоритм нахождения минимума функции суммы квадратичных ошибок. После завершения процедуры минимизации ошибок и определения стандартной ошибки, величина t вводится и интерпретируется обычным образом. Параметры, которые в модели оказывают существенное влияние на поведение, остаются, а те, которые несущественны, - отбрасываются.

Этап 3. Проверка модели

Прежде чем можно будет приступить к прогнозированию, модель должна пройти проверку на адекватность. В целом модель является адекватной, если полученные остатки нельзя использовать для дальнейшего уточнения прогнозов. Иначе говоря, остатки должны быть случайными.

1. Большинство графиков остатков, применяемых в регрессионном анализе, можно также использовать для анализа остатков в модели ARIMA. Особенно полезными являются гистограмма остатков и график их нормального распределения (для проверки нормальности.

2. Отдельные остаточные автокорреляции должны быть малыми и должны находиться в окрестности нуля внутри диапазона .

3. Поведение функции остаточной автокорреляции в целом должно соответствовать автокорреляциям, полученным для набора случайных ошибок.

Этап 4. Прогнозирование на основе выбранной модели

1. Когда адекватная модель найдена, можно делать прогнозы на один или несколько периодов вперед.

2. Как только станут доступны новые данные наблюдений, ту же модель ARIMA можно применить для модифицированного прогноза с иным началом отсчета времени.

3. Если характер поведения ряда меняется, новые данные могут послужить для переоценки параметров модели или, если в этом есть необходимость, для разработки совершенно новой модели.

Пример.

Имеется временной ряд данных для процесса, который необходимо спрогнозировать (данные приведены по столбцам).

Таблица 12. Данные временного ряда

60	99	75	79,5	61,5	88,5	72	90
81	25,5	78	64,5	81	51	66	78
72	93	66	99	76,5	85,5	73,5	87
78	75	97,5	72	84	58,5	66	99
61,5	57	60	78	57	90	73,5	72
78	88,5	97,5	63	84	60	103,5
57	76,5	61,5	66	73,5	78	60
84	82,5	96	84	78	66	81
72	72	79,5	66	49,5	97,5	87
67,8	76,5	72	87	78	64,5	73,5

Предположим, что Метод Бокса-Дженкинса будет подходящим для обработки собранных данных.

Проведем анализ временного ряда в программе Statistica. Выберите Временные ряды и прогнозирование. Выберите необходимую нам переменную, нажмите кнопку АРПСС и автокорреляционные функции. После загрузки данных вы увидите окно Одномерная АРПСС (рисунок 4).

Рисунок 4 – Одномерная ARIMA в Excel

Прежде чем оценивать параметры, надо определить их качество, т.е. выбрать модель. Начнем поиск пробной модели с анализа графика данных и графика функции выборочной автокорреляции. Для этого нажмем кнопку Другие преобразования и графики. Откроется окно Преобразование переменных. Далее нажмите кнопку График рядом с кнопкой просмотр выделенной переменной и постройте график ряда.

Исходный временной ряд данных характеризуется вариацией значений в окрестности фиксированного уровня, приблизительно равного 80, а значения коэффициентов автокорреляции быстро убывают до нуля. Исходя из этого, заключим, что данный временной ряд является стационарным.

Первый выборочный коэффициент автокорреляции (-0,53) существенно отличается от нуля для уровня 5% (рис. 7.4), поскольку находится вне диапазона

Рисунок 5– Временной ряд исследуемого показателя

Рисунок 6 – Выборочная автокорреляция функционирования

для данных компании

Автокорреляция для запаздывания в 2 периода ближе к пороговому значению для уровня 5% и противоположна по знаку автокорреляции на интервале 1. Остальные актокорреляции малы и находятся в рамках установленных предельных ошибок. Можно предположить, что подобная структура модели соответствует либо модели AR(1), либо также допустимо, модели MA(2), если считать, что автокорреляции отсекаются (незначимы от нуля) уже после второго интервала. Для окончательного решения дополнительно проанализируем график функции выборочной частной автокорреляции. Выберите опцию Частные автокорреляции. Первый коэффициент частной автокорреляции (-0,53) значительно отличается от нуля, но ни один из остальных коэффициентов частной автокорреляции не приближается к уровню значащего значения (рисунок 7) .

Рисунок 7 – Выборочная частная автокорреляционная функция для данных

компании

Значение первого коэффициента частной автокорреляции равно значению первого коэффициента автокорреляции (оба равны -0,53). Это характерно для авторегрессионных процессов первого порядка.

Поведение функции выборочной автокорреляции и выборочной частной автокорреляции соответствует модели AR(1) (или ARIMA (1,0,0)), однако чтобы полностью исключить риск, смоделируем данные также с помощью модели, MA(2) (или ARIMA (0,0,2)).

Сейчас необходимо задать параметры модели АРПСС. На этапе идентификации модели мы пришли к выводу, что нужно оценить один параметр авторегресии и константу.

Ниже показано диалоговое окно Одномерная АРПСС с нужными установками.

Рисунок 8 – Нужные установки модели ARIMA (1,0,0)

Параметры АРПСС оцениваются максимизацией функции правдоподобия. Доступны два метода максимизации функции правдоподобия: Приближенный (МакЛеода и Сейлза) и Точный (Меларда). Выберите метод Точный (Меларда) и нажмите OK, тем самым запустите итеративную процедуру оценивания.

После того, как процедура оценивания сойдется, откроется диалоговое окно Результаты АРПСС (рисунок 9).

Рисунок 9 – Результаты оценки модели ARIMA(1,0,0)

Постоянное слагаемое включено в модель, чтобы учесть тот факт, что данные изменяются в окрестности уровня, отличного от нуля. Если бы данные выражались как отклонение от выборочного среднего, то в обеих моделях постоянное слагаемое было бы ненужным.

Результат оценивания по второму виду модели представлен на рисунке 10.

Рисунок 10 - Результаты оценки модели ARIMA(0,0,2)

Нажмите кнопку оценки параметров, чтобы увидеть таблицу результатов с оценками, стандартными ошибками, асимптотическими значениями t-статистик и т.д.

Обе модели показали хорошее соответствие данным. Оцененные коэффициенты значительно отличаются от нуля. Среднеквадратические ошибки сходны.

MA(2): AR(1) .

Прогнозы на один и два периода вперед для двух этих моделей отличаются в некоторых деталях, однако прогнозы на три периода вперед (период 78) весьма близки (рисунки 11-12). При фиксированном источнике для предсказаний, прогнозы для стационарных процессов становятся, в конечном счете, равны предполагаемому среднему уровню. В рассматриваемом случае предполагаемый средний уровень приблизительно равен = 75 для обеих моделей.

Рисунок 11 – Прогнозные значения оцениваемого параметра по модели

AR(1)

Рисунок 12 – Прогнозные значения оцениваемого параметра по модели

MA(2)

Остаточная автокорреляционная функция модели MA(2) показана на рисунке 13. Отдельные остаточные коэффициенты автокорреляции малы и находятся в рамках их предельных ошибок. Остаточная автокорреляционная функция для модели AR(1) аналогична. Не вызывает сомнений тот факт, что ошибки случайны в обеих этих моделях. Для осуществления прогноза можно использовать любую из созданных моделей.

Рисунок 13 – Автокорреляционная функция остатков модели MA(2)